课时提升练(三十四) 基本不等式一、选择题1．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列不等式中正确的是( )A．log2a＞0B．2a－b＜C．2＋＜D．log2a＋log2b＜－2【解析】 ∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2，即＜，ab＜，∴log2a＋log2b＝log2(ab)＜log2＝－2.【答案】 D2．若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )A．1＋ B．1＋ C．3 D．4【解析】 ∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时等号成立，∴a＝3.【答案】 C3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )A.B．4C.D．5【解析】 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，∴＝＝≥＝，当且仅当＝，即b＝2a时取等号，又a＋b＝2，5\n∴a＝时，＋有最小值.【答案】 C4．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )A．3B．4C.D.【解析】 依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，即x＋2y≥4.当且仅当即时等号成立．∴x＋2y的最小值是4.【答案】 B5．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为( )A．2B.C．1D.【解析】 由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3，由a＞1，b＞1知x＞0，y＞0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，则＋的最大值为1.【答案】 C6．若实数x，y满足x2＋y2＝1，则(1＋xy)(1－xy)有( )A．最小值和最大值1B．最大值1和最小值C．最小值，无最大值D．最大值1，无最小值【解析】 ∵x2＋y2＝1≥2|xy|，∴0＜|xy|≤.∴0≤x2y2≤，∴≤1－x2y2≤1.5\n【答案】 B二、填空题7．已知各项为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值为________．【解析】 由已知a4a14＝(2)2＝8，又∵a4a14＝a7a11＝8，a7＞0，a11＞0，∴2a7＋a11≥2＝8，当且仅当2a7＝a11时等号成立．【答案】 88．已知a＞0，b＞0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为________．【解析】 因为a＞0，b＞0，所以由－－≤0恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.【答案】 169．(2022·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．【解析】 (1)当l＝6.05时，F＝＝≤＝＝1900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时．(2)当l＝5时，F＝＝≤＝＝2000.当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2000辆/时．比(1)中的最大车流量增加100辆/时．【答案】 (1)1900 (2)100三、解答题10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．5\n【解】 ∵x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，(1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64.当且仅当2x＝8y且2x＋8y－xy＝0，即y＝4，x＝16时“＝”成立．故xy的最小值为64.(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋8＝18.当且仅当＝且2x＋8y－xy＝0，即y＝4，x＝16时“＝”成立．故x＋y的最小值为18.11．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.【证明】 (1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴＋＋＝2，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．(2)法一 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，∴＝＝5＋2≥5＋4＝9.∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．法二 ＝1＋＋＋，5\n由(1)知，＋＋≥8，故＝1＋＋＋≥9.12．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图642所示)图642(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x＞1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该怎样设计？【解】 (1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4000，得a＝.则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·＋160＝80·＋4160(x＞1)．(2)80＋4160≥80×2＋4160＝1600＋4160＝5760.当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．5
