课时提升练(二十六) 数列的概念及简单表示法一、选择题1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A．1，，，，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－，－，－，…D．1，，，…，【解析】 A，B，C都是无穷数列，但A，B是递减数列，C正确．【答案】 C2.在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为( )A．30 B．31 C．32 D．33【解析】 a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31.【答案】 B3．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝( )A.B.＋C.＋D.＋＋【解析】 f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，f(n)＝1＋＋＋…＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.【答案】 D4．如图511，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )图511A．an＝n2－n＋1B．an＝5\nC．an＝D．an＝【解析】 观察所给图案知，an＝1＋2＋3＋…＋n＝.【答案】 C5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于( )A．4B．2C．1D．－2【解析】 ∵Sn＝2(an－1)，∴S1＝a1＝2(a1－1)，∴a1＝2，S2＝2(a2－1)＝a1＋a2，∴a2＝4.【答案】 A6．已知数列1，，，，…，，则3是它的( )A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项【解析】 观察已知数列的通项公式为an＝，令an＝＝3＝，得n＝23.【答案】 B7．设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Tn，则T2016＝( )A．－B．－1C.D．1【解析】 由递推公式得a2＝，a3＝－1，a4＝2，…，故数列{an}是周期为3的周期数列，从而T2016＝(－1)672＝1.【答案】 D8．已知an＝(n∈N*)，则数列{an}的最大项是( )A．第12项B．第13项C．第12或13项D．不存在【解析】 an＝＝≤，又∵等号成立的条件是n＝即n2＝156，显然由n∈N*知等号不能成立，又∵n＝12时，an＝＝；n＝13时，an＝＝，∴选C.5\n【答案】 C9．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则a10＝( )A．1024B．1023C．2048D．2047【解析】 ∵an＋1＝an＋2n，∴an－an－1＝2n－1(n≥2)，∴a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝29＋28＋…＋2＋1＝210－1＝1023.【答案】 B10．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( )A．2n－1B.n－1C．n2D．n【解析】 ∵an＝n(an＋1－an)，∴＝，∴an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝n.【答案】 D11．给定函数y＝f(x)的图象在下图中，并且对任给的a1∈(0,1)．由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an(n∈N*)，则该函数的图象是( )【解析】 据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到数列{an}满足an＋1＞an，即该函数y＝f(x)图象上任一点(x，y)都满足y＞x，由图象知，只有A满足．【答案】 A12．如图512所示，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)＝x＋(x＞0)的图象上．若点Bn的坐标为(n,0)(n≥2，n∈N*)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2＋a3＋…＋a10＝( )5\n图512A．208B．216C．212D．220【解析】 由Bn(n,0)得Cn，令x＋＝n＋，即x2－x＋1＝0，得x＝n或x＝，所以Dn.所以矩形AnBnCnDn的周长an＝2＋2＝4n，则a2＋a3＋…＋a10＝4(2＋3＋…＋10)＝216.【答案】 B二、填空题13．数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________.【解析】 ∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.【答案】 2n＋1－314．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数{an}前n项和，则S21＝________.【解析】 ∵an＋an＋1＝(n∈N*)，∴a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…，故a2n＝2，a2n－1＝－2.∴S21＝10×＋a1＝5＋－2＝.【答案】 15．数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.【解析】 ∵a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n－1)·3n＋1＋3.①5\n当n≥2时，把n换为n－1得，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝(n－2)·3n＋3②，①－②得：an＝3n，n＝1时也适合．【答案】 3n16．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，且1＜Sk＜9(k∈N*)，则a1的值为________，k的值为________．【解析】 当n＝1时，a1＝a1－，∴a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－－＝an－an－1，∴＝－2，∴数列{an}是首项为－1，公比为－2的等比数列，∴an＝－(－2)n－1，Sn＝－×(－2)n－1－.由1＜－×(－2)k－1－＜9得－14＜(－2)k－1＜－2，又k∈N*，∴k＝4.【答案】 －1 45
