课时提升练(五十二) 古典概型一、选择题1．(2022·山西四校联考)从1、2、3、4这四个数中一次随机取两个，则取出的这两个数之和为偶数的概率是( )A. B. C. D.【解析】 从四个数中任取两个，共有1,2；1,3；1,4；2,3；2,4；3,4，共6种，其中和为偶数的情况有1,3；2,4，共2种．∴所求概率P＝＝.【答案】 B2．(2022·沈阳四校联考)任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是( )A.B.C.D.【解析】 三位正整数有900个，而满足log2N是正整数的N有27,28,29，共3个，故所求事件的概率P＝＝.【答案】 C3．(2022·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.B.C.D.【解析】 由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝.【答案】 D4．(2022·浙江金华十校模拟)从5名医生(3男2女)中随机等可能地选派两名医生，则恰选1名男医生和1名女医生的概率为( )A.B.C.D.5\n【解析】 记3名男医生分别为a1，a2，a3,2名女医生分别为b1，b2，从这5名医生中随机地选派两名医生，有以下10种选法：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2，其中恰选1名男医生和1名女医生的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，共6种选法，故所求事件的概率为P＝＝，选D.【答案】 D5．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N*)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为( )A．3B．4C．2和5D．3和4【解析】 分别从集合A和B中随机取一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，a＋b＝2的有1种情况，a＋b＝3的有2种情况，a＋b＝4的有2种情况，a＋b＝5的有1种情况，所以可知若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为3和4，故选D.【答案】 D6．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈的概率是( )A.B.C.D.【解析】 ∵cosθ＝，θ∈，∴m≥n满足条件，m＝n的概率为＝，m＞n的概率为×＝，∴θ∈的概率为＋＝.【答案】 C二、填空题7．(2022·江苏高考)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．【解析】 取两个数的所有情况有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种情况．乘积为6的情况有：(1,6)，(2,3)，共2种情况．5\n所求事件的概率为＝.【答案】 8．(2022·浙江高考)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．【解析】 记“两人都中奖”为事件A，设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，2种，所以P(A)＝＝.【答案】 9．(2022·江苏扬州模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．【解析】 将一枚骰子抛掷两次共有36种结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，属于古典概型．方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2，则A包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种，由古典概率的计算公式可得P(A)＝.【答案】 三、解答题10．(2022·辽宁高考)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有，，5\n，，，，共6个，所以P(A)＝＝.(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有，，，，，，，，共8个，所以P(B)＝.11．(2022·山西四校联考)某班优秀生16人，中等生24人，学困生8人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取6名学生做学习习惯调查．(1)求应从优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数；(2)若从抽取的6名学生中随机抽取2名学生做进一步数据分析；①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2名学生均为中等生的概率．【解】 (1)优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数为2、3、1.(2)①在抽取到的6名学生中，3名中等生分别记为A1，A2，A3,2名优秀生分别记为A4，A5,1名学困生记为A6，则抽取2名学生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②从这6名学生中抽取的2名学生均为中等生(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，所以P(B)＝＝.12．(2022·福建高考)根据世行2022年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．5\n【解】 (1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为(8000×0.25a＋4000×0.30a＋6000×0.15a＋3000×0.10a＋10000×0.20a)＝6400.因为6400∈[4085,12616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E)，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝.5
