课时提升练(五) 函数的单调性与最值一、选择题1．(2022·湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x【解析】 A中f(x)＝是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．【答案】 A2．下列函数中，满足x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)的是( )A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)【解析】 由题意可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数．结合四个选项可知，A正确．【答案】 A3．(2022·福建高考)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)【解析】 函数f(x)＝的图象如图所示，由图象知只有D正确．【答案】 D4．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )A．a>－B．a≥－C．－≤a<0D．－≤a≤06\n【解析】 当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.综合上述得－≤a≤0.【答案】 D5．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)最大值为( )A．4B．5C．6D．7【解析】 如图所示，在同一坐标系中作出y＝x＋2，y＝2x，y＝10－x(x≥0)的图象．根据f(x)定义知，f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象(如图实线部分)．∴f(x)＝令x＋2＝10－x，得x＝4.当x＝4时，f(x)取最大值f(4)＝6.【答案】 C6．(2022·海滨模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log3·f，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>cB．c>b>aC．c>a>bD．a>c>b【解析】 因为当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数，又因为f(x)为奇函数，所以y＝xf(x)为偶函数，所以y＝xf(x6\n)在(0，＋∞)上为增函数，因为>30.3>logπ3>0，所以c>a>b.【答案】 C二、填空题7．已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3,2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2的解集为________．【解析】 ∵f(0)＝－2，f(－3)＝2，且－2<f(x)<2，∴f(0)<f(x)<f(－3)，又∵y＝f(x)是R上的减函数，∴－3<x<0.【答案】 (－3,0)8．(2022·佛山模拟)已知a>0，a≠1，函数f(x)＝若函数f(x)在[0,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．【解析】 当0<a<1时，函数f(x)在[0,2]上的最大值是1，最小值是a－2，则1－(a－2)＝，得a＝；当1<a≤3时，函数f(x)在[0,2]上的最大值是a，最小值是a－2，而a－(a－2)＝2≠，应舍去；当a>3时，函数f(x)在[0,2]上最大值是a，最小值是1，则a－1＝，得a＝.【答案】 或9．设x1，x2为y＝f(x)在定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；③>0；④<0.其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________．(填序号)【解析】 依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y＝f(x)为增函数．【答案】 ①③三、解答题10．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A＝{x|f(x)＝x}．6\n(1)若A＝{1,2}，且f(0)＝2，求M和m的值；(2)若A＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值．【解】 (1)由f(0)＝2可知c＝2，又A＝{1,2}，故1,2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的两实根．∴解得a＝1，b＝－2，∴f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－2,2]．当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝1，即m＝1，当x＝－2时，f(x)max＝f(－2)＝10，即M＝10.(2)由题意知，方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两相等实根x＝1，∴即∴f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a，x∈[－2,2]，其对称轴方程为x＝＝1－.又a≥1，故1－∈，∴M＝f(－2)＝9a－2，m＝f＝1－，g(a)＝M＋m＝9a－－1.又g(a)在区间[1，＋∞)上为单调递增的，∴当a＝1时，g(a)min＝.11．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明；(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．【解】 (1)∵当x＞0，y＞0时，f＝f(x)－f(y)，∴令x＝y＞0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f.6\n∵x2＞x1＞0，∴＞1，∴f＞0.∴f(x2)＞f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)，∵f(4)＝2，由f＝f(x)－f(y)，知f＝f(16)－f(4)，∴f(16)＝2f(4)＝4，∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．12．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立．(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f<f；(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．【解】 (1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1<x2，则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2)，由已知得>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)在[－1,1]上单调递增．(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴∴－≤x<－1.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]恒成立．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.6\n①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须有g(－1)≥0且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.6
