课时提升练(四) 函数及其表示一、选择题1．(2022·山东高考)函数f(x)＝＋的定义域为( )A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1]【解析】 由题意，自变量x应满足解得∴－3＜x≤0.【答案】 A2．已知f(x)＝则f＋f＝( )A．1B．2C．3D．－2【解析】 f＝－cos＝cos＝，f＝f＋1＝f＋2＝－cosπ＋2＝＋2＝，∴f＋f＝3.【答案】 C3．下列各对函数中，是同一个函数的是( )A．f(x)＝，g(x)＝B．f(x)＝，g(x)＝C．f(x)＝，g(x)＝()2n－1，n∈N*D．f(x)＝·，g(x)＝【解析】 对于选项A，由于f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一个函数；对于选项B，由于函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以它们不是同一个函数；对于选项C，由于当n∈N*时，2n±1为奇数，所以f(x)＝＝x，g(x)＝()2n－1＝x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一个函数；对于选项D，由于函数f(x)＝·的定义域为[0，＋∞)，而g(x)＝的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数．5\n【答案】 C4．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数是( )【解析】 A选项值域不是集合{y|0≤y≤1}，B选项定义域不是集合{x|0≤x≤1}，D选项不是函数，只有C正确．【答案】 C5．(2022·临沂检测)如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝( )A.B.C.D.－1【解析】 令x＝，则f(x)＝＝(x≠0且x≠1)．【答案】 B6．(2022·东城模拟)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝1的解是( )A.或2B.或3C.或4D．±或4【解析】 当x∈[－1,2]时，由3－x2＝1得x＝±(负值舍去)；当x∈(2,5]时，由x－3＝1得x＝4.【答案】 C图2117．如图211是南京青奥会传递火炬时，火炬离主会场距离(y)与传递时间(x)之间的函数关系的图象，若用黑点表示主会场的位置，则火炬传递的路线可能是( )【解析】 由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，结合选项知D符合．【答案】 D5\n8．(2022·黄冈模拟)已知函数f(x)＝的定义域为A，函数y＝f(f(x))的定义域为B，则( )A．A∪B＝BB．ABC．A＝BD．A∩B＝B【解析】 A＝{x|x≠1}，y＝f(f(x))，∴x≠1，且f(x)≠1，故B＝{x|x≠1且x≠0}．∴A∩B＝B.【答案】 D9．设f(x)＝且f＝6，则f(f(－2))的值为( )A．27B．243C.D.【解析】 f＝3×(t－1)＝6，即(t－1)＝2，∴t＝5.故f(x)＝∴f(－2)＝log2[(－2)2＋5]＝log29>0，∴f(f(－2))＝f(log29)＝3×4log29＝3×22log29＝3×2log292＝3×81＝243.【答案】 B10．设函数f(x)＝若f(z)>1，则实数z的取值范围是( )A．(－2,1)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)【解析】 原不等式可化为或解得z<－2或z>1，即实数z的范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．【答案】 B11．若函数f(x)＝f(a2－6)＋f(a)>0，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－2)∪(3，＋∞)B．(－2,3)C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D．(－3,2)【解析】 画出函数f(x)的图象(略)，由图可知f(x)在R上是奇函数且为增函数，所以f(a2－6)＋f(a)>0⇒f(a2－6)>－f(a)＝f(－a)⇒a2－6>－a⇒a<－3或a>2.【答案】 C12．若定义在R上的函数y＝f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)，使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意的实数x都成立，则称f(x)是一个“λ的相关函数”，则下列结论正确的是( )5\nA．f(x)＝0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”B．f(x)＝x2是一个“λ的相关函数”C．f(x)＝e－x是一个“λ的相关函数”D．“的相关函数”至少有一个零点【解析】 对于A，设f(x)＝c是一个“λ的相关函数”，则(1＋λ)c＝0，当λ＝－1时，c可以取遍实数集，因此f(x)＝0不是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”，故A不正确；对于B，假设f(x)＝x2是一个“λ的相关函数”，则(1＋λ)x2＋2λx＋λ2＝0对任意的x都成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而此式无解，所以f(x)＝x2不是一个“λ的相关函数”，故B不正确；对于C，令e－(x＋λ)＋λe－x＝0，则e－λ＝－λ，作出图象容易得出，不存在λ，使得e－λ＝－λ成立，故C不正确；对于D，令x＝0，得f＋f(0)＝0，所以f＝－f(0)，若f(0)＝0，则函数f(x)有零点，若f(0)≠0，则f·f(0)＝－[f(0)]2<0.又y＝f(x)的图象是连续不断的，所以f(x)在上必有零点，因此“的相关函数”必有零点，即“的相关函数”至少有一个零点．故D正确．【答案】 D二、填空题13．(2022·北京高考)函数f(x)＝的值域为________．【解析】 当x≥1时，logx≤log1＝0，∴当x≥1时，f(x)≤0.当x<1时，0<2x<21，即0<f(x)<2.因此函数f(x)的值域为(－∞，2)．【答案】 (－∞，2)14．已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝3x＋2，则f(x)的函数解析式为________．【解析】 由题意令f(x)＝ax＋b，则f[f(x)]＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝3x＋2.∴解得或∴f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－－1.【答案】 f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－－115．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．【解析】 当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，5\n所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，所以a＝－.当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1，所以a＝－(舍去)．综上，满足条件的a＝－.【答案】 －16．对任意两个实数x1，x2，定义max(x1，x2)＝若f(x)＝x2－2，g(x)＝－x，则max(f(x)，g(x))的最小值为________．【解析】 f(x)－g(x)＝x2－2－(－x)＝x2＋x－2，由x2＋x－2≥0，解得x≥1或x≤－2，又当－2<x<1时，x2＋x－2<0，∴max(f(x)，g(x))＝作出y＝max(f(x)，g(x))的图象如图，由图象可知函数的最小值为f(1)＝－1.【答案】 －15
