课时规范练52 古典概型基础巩固组1.(2022安徽马鞍山一模,文6)从正五边形的5个顶点中随机选择3个顶点,则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是( ) A.13B.25C.12D.352.同时抛掷两个骰子,则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( )A.118B.112C.19D.163.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )A.15B.25C.825D.9254.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为( )A.16B.112C.536D.195.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.126.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 . 7.将一颗质地均匀的骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使直线l1:x+ay=3,l2:bx+6y=3平行的概率为p1,不平行的概率为p2,若点(p1,p2)在圆(x-m)2+y2=6581的内部,则实数m的取值范围是 . 8.(2022江西宜春中学3月模拟,文19)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率.8\n9.(2022辽宁鞍山一模,文18)上周某校高三年级学生参加了数学测试,年级部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组[40,50);第二组[50,60);……第六组[90,100],并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数;(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率.8\n〚导学号24190953〛综合提升组10.设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x3+ax-b在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.3411.(2022湖北武昌1月调研,文14)已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,所以以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数:5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 . 12.抛掷两枚质地均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,则使得直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过423的概率为 . 13.(2022湖南邵阳一模,文19)空气质量按照空气质量指数大小分为七档(五级),相对应空气质量的七个类别,指数越大,说明污染的情况越严重,对人体危害越大.指数级别类别户外活动建议0~50Ⅰ优可正常活动51~100Ⅱ良101~150Ⅲ轻微污染易感人群症状有轻度加剧,健康人群出现刺激症状,心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体力消耗和户外活动151~200轻度污染201~250Ⅳ中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧,运动耐受力降低,健康人群中普遍出现症状,老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动251~300中度重污染301~500Ⅴ重污染健康人运动耐受力降低,由明显强烈症状,提前出现某些疾病,老年人和病人应当留在室内,避免体力消耗,一般人群应尽量减少户外活动8\n现统计邵阳市市区2022年10月至11月连续60天的空气质量指数,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这60天中属轻度污染的天数;(2)求这60天空气质量指数的平均值;(3)将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组,第二组,……第五组.从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天,记它们的空气质量指数分别为x,y,求事件|x-y|≤150的概率.〚导学号24190954〛创新应用组14.已知M={1,2,3,4},若a∈M,b∈M,则函数f(x)=ax3+bx2+x-3在R上为增函数的概率是( )A.916B.716C.416D.31615.(2022北京丰台一模,文18)某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送.学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度,采用问卷的形式,随机抽取了40名学生对两家公司分别评分.根据收集的80份问卷的评分,得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和如表B公司满意度评分的频数分布表.8\n满意度评分分组频数[50,60)2[60,70)8[70,80)14[80,90)14[90,100]2(1)根据A公司的频率分布直方图,估计该公司满意度评分的中位数;(2)从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份,求这两份问卷都是给A公司评分的概率;(3)请从统计角度,对A,B两家公司做出评价.答案：1.C 从正五边形的5个顶点中随机选择3个顶点,基本事件总数为n=10,它们作为顶点的三角形是锐角三角形的方法种数为5,故以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是P=510=12.故选C.2.C 同时抛掷两枚骰子,基本事件总数为36,记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A,则事件A包含的基本事件有(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),共4个,故P(A)=436=19.3.B 从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为410=25.4.B 依题意,以(x,y)为坐标的点共有6×6=36个,其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事件的概率P=336=112.5.A 由题意可知m=(a,b)有:(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.因为m⊥n,即m·n=0,所以a×1+b×(-1)=0,即a=b,满足条件的有(3,3),(5,5),共2个,故所求的概率为16.6.56 (方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.其中向上的点数之和小于10的基本事件共有30个,所以所求概率为3036=56.8\n(方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.记A表示“向上的点数之和小于10”,则A表示“向上的点数之和不小于10”,A的基本事件共有6个,所以P(A)=636=16,P(A)=1-P(A)=56.7.0,29 由题意可知直线l1的斜率k1=-1a,直线l2的斜率k2=-b6.∵l1∥l2,∴k1=k2.∴-1a=-b6.∴ab=6.∴能使l1∥l2的情况有(1,6),(2,3),(3,2),(6,1),共4种.又总的基本事件有36种,∴能使l1∥l2的概率为p1=436=19,不平行的概率为p2=89.∴由19-m2+892<6581,解得m的取值范围是0,29.8.解(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有1,4和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3,共6个.从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1,3和2,1两个.因此所求事件的概率P=26=13.(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.又满足条件n≥m+2的事件为:(1,3),(1,4),(2,4),共3个,所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=316.故满足条件n<m+2的事件的概率为1-P1=1-316=1316.9.解(1)因为各组的频率之和为1,所以成绩在区间[80,90)内的频率为1-(0.005×2+0.015+0.020+0.045)×10=0.1,所以平均分为0.05×45+0.15×55+0.45×65+0.20×75+0.10×85+0.05×95=68(分),众数的估计值是65.(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名,至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”,由题意可知成绩在区间[80,90)内的学生有:40×0.1=4,记这4名学生分别为a,b,c,d,成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40=2(人),记这2名学生分别为e,f,8\n则从这6人中任选2人的基本事件空间为:Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c)(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)}共15种,事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为:A={(a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)},共9种,故所求事件的概率为P(A)=915=35.10.C 因为f(x)=x3+ax-b,所以f'(x)=3x2+a.因为a∈{1,2,3,4},所以f'(x)>0,所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,则f(1)f(2)≤0,解得a+1≤b≤8+2a.因此,可使函数在区间[1,2]上有零点的有:a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8,共有3种情况;a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12,共有2种情况.所以有零点共有3+3+3+2=11种情况.而构成函数共有4×4=16个,根据古典概型可得有零点的概率为1116.11.0.75 由题意知模拟射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:5727 0293 9857 0347 43738636 9647 4698 6233 2616 80453661 9597 7424 4281,共15组随机数,故所求概率约为1520=0.75.12.19 由题意可知抛掷两枚质地均匀的骰子得到的点数(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36种.因为直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交,且所得弦长不超过423,所以1>1a2+b2≥13,即1<a2+b2≤9.故满足直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交,且所得弦长不超过423的(a,b)有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,因此所求的概率为436=19.13.解(1)依题意知,轻度污染即空气质量指数在151~200之间,共有0.003×50×60=9(天).(2)由直方图知这60天空气质量指数的平均值为x=25×0.1+75×0.4+125×0.3+175×0.15+225×0.05=107.5.(3)第一组和第五组的天数分别为60×0.1=6,60×0.05=3,则从9天中抽出2天的一切可能结果的基本事件有36种,由|x-y|≤150知两天只能在同一组中,而两天在同一组中的基本事件有18种,8\n用M表示|x-y|≤150这一事件,则P(M)=1836=12.14.A 记事件A为“函数f(x)=ax3+bx2+x-3在R上为增函数”.因为f(x)=ax3+bx2+x-3,所以f'(x)=3ax2+2bx+1.当函数f(x)在R上为增函数时,f'(x)≥0在R上恒成立.又a>0,所以Δ=(2b)2-4×3a=4b2-12a≤0在R上恒成立,即a≥b23.当b=1时,有a≥13,故a可取1,2,3,4,共4个数;当b=2时,有a≥43,故a可取2,3,4,共3个数;当b=3时,有a≥3,故a可取3,4,共2个数;当b=4时,有a≥163,故a无可取值.综上,事件A包含的基本事件有4+3+2=9种.又a,b∈{1,2,3,4},所以所有的基本事件共有4×4=16种.故所求事件A的概率为P(A)=916.故选A.15.解(1)设A公司调查的40份问卷的中位数为x,则有0.015×10+0.025×10+0.03×(x-70)=0.5,解得x≈73.3,所以,估计该公司满意度得分的中位数为73.3.(2)满意度高于90的问卷共有6份,其中4份评价A公司,设为a1,a2,a3,a4,2份评价B公司,设为b1,b2.从这6份问卷中随机取2份,所有可能的结果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共有15种.其中2份问卷都评价A公司的有以下6种:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4).设两份问卷均是评价A公司为事件C,则有P(C)=615=25.(3)由所给两个公司的调查满意度得分知:A公司得分的中位数低于B公司得分的中位数,A公司得分集中在[70,80)这组,而B公司得分集中在[70,80)和[80,90)两个组,A公司得分的平均数低于B公司得分的平均数,A公司得分比较分散,而B公司得分相对集中,即A公司得分的方差高于B公司得分的方差.8
