课时规范练55 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、基础巩固组1.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A.40B.16C.13D.102.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )A.56B.65C.5×6×5×4×3×22D.6×5×4×3×23.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有( )A.24种B.30种C.36种D.48种4.有a,b,c,d,e共5个人,从中选1名组长和1名副组长,但a不能当副组长,则不同选法的种数是( )A.20B.16C.10D.65.我们把各个数位上的数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的共有( )A.18个B.15个C.12个D.9个6.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )A.4种B.10种C.18种D.20种7.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去哪个工厂可自由选择,甲工厂必须有班级去,则不同的分配方案有( )A.16种B.18种C.37种D.48种8.(2022福建漳州质检)将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法有( )A.6种B.12种C.18种D.24种〚导学号21500585〛9.(2022山东济宁模拟)若甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有 种. 10.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是 . 二、综合提升组11.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )A.24B.18C.12D.612.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花( )A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元13.4\n(2022河南商丘二模,理9)高考结束后高三年级的8名同学准备拼车去旅游,其中一班、二班、三班、四班每班各2名,分别乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中一班的2名同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班级的乘坐方式共有( )A.18种B.24种C.48种D.36种14.如图所示,一个地区分为5个行政区域,现给该地区的地图涂色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,则涂色方法共有的种数为 . 〚导学号21500586〛15.我们把中间位上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132,341等,则由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是 . 16.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有 个. 三、创新应用组17.(2022重庆一中诊断)对甲、乙、丙、丁四人进行编号,甲不编“1”号、乙不编“2”号、丙不编“3”号、丁不编“4”号的不同编号方法有( )A.8种B.9种C.10种D.11种18.如图,在由若干个同样小的平行四边形组成的大平行四边形内有一个★,则含有★的平行四边形共有 个.(用数字作答) 〚导学号21500587〛课时规范练55 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.C 分两类情况讨论:第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13个不同的平面.2.A 6名同学中的每一名同学都可以从5个课外知识讲座中任选一个,由分步乘法计数原理可知不同的选法种数是56.故选A.3.D 按A→B→C→D的顺序分四步着色,共有4×3×2×2=48种不同的着色方法.4.B 当a当组长时,则共有1×4=4种选法;当a不当组长时,因为a也不能当副组长,则共有4×3=12种选法.因此共有4+12=16种选法.4\n5.B 依题意知,这个四位数的百位上的数字、十位、个位上的数字之和为4.由4,0,0组成3个数,分别为400,040,004;由3,1,0组成310,301,130,103,013,031共6个数;由2,2,0组成3个数,分别为220,202,022;由2,1,1组成3个数,分别为211,121,112,共计3+6+3+3=15(个).6.B 赠送1本画册,3本集邮册,需从4人中选出1人赠送画册,其余赠送集邮册,有C41种方法;赠送2本画册,2本集邮册,只需从4人中选出2人赠送画册,其余2人赠送集邮册,有C42种方法.由分类加法计数原理,知不同的赠送方法有C41+C42=10(种).7.C 三个班去四个工厂,不同的分配方案共43种,甲工厂没有班级去的分配方案共33种,因此满足条件的不同的分配方案共有43-33=37(种).8.A 因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填好后与之相邻的空格可填6,7,8中的任一个,余下的两个数字按从小到大只有一种填法.共有2×3=6种填法,故选A.9.24 分步完成,首先甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种方法;其次甲从剩下的3门课程中任选1门,有3种方法;最后乙从剩下的2门课程中任选1门,有2种方法.于是,甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2=24(种).10.36 另两边长用x,y(x,y∈N*)表示,不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥12.当y取11时,x可取1,2,3,…,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,…,10,有9个三角形;……当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.11.B 三位数可分成两类,第一类是奇偶奇,其中个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,共有3×2×2=12(个);第二类是偶奇奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共有3×2×1=6(个).故由分类加法计数原理,可知共有奇数12+6=18(个).故选B.12.D 从01至10中选3个连续的号共有8种选法;从11至20中选2个连续的号共有9种选法;从21至30中选1个号有10种选法;从31至36中选1个号有6种选法,由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6=4320种选法,故至少要花4320×2=8640(元).13.B 第一类,一班的2名同学在甲车上,甲车上剩下的2名要来自不同的班级,从三个班级中选两个有C32=3种不同的选法,然后分别从选择的班级中再选择1名学生,有C21C21=4种不同的选法,故有3×4=12种不同的选法.第二类,一班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择一个班级的2名同学在甲车上,有C31=3种不同的选法,然后再从剩下的两个班级中分别选择1名有C21C21=4种不同的选法,这时共有3×4=12种不同的选法.根据分类加法计数原理知,共有12+12=24种不同的乘车方式,故选B.14.72 因为区域1与其他4个区域都相邻,首先考虑区域1,有4种涂法,然后再按区域2,4同色和不同色,分为两类:第一类,区域2,4同色,有3种涂法,此时区域3,5均有2种涂法,共有4×3×2×2=48种涂法;第二类,区域2,4不同色,先涂区域2,有3种涂法,再涂区域4,有2种涂法,此时区域3,5都只有1种涂法,共有4×3×2×1×1=24种涂法.根据分类加法计数原理知,共有48+24=72种满足条件的涂色方法.15.20 根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类,第一类,当中间数字为3时,此时有2种(132,231);第二类,当中间数字为4时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有A32=6种;第三类,当中间数字为5时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有A42=12种;根据分类加法计数原理知,由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20.16.17 当A={1}时,B有23-1=7种情况;当A={2}时,B有22-1=3种情况;当A={3}时,B有1种情况;当A={1,2}时,B有22-1=3种情况;当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况.故满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).17.B 依题意,符合要求的编号方法为“1”号是乙、丙、丁三人中的某一个.①当乙的编号为“1”时,其他人的编号如下:12344\n乙甲丁丙乙丙丁甲乙丁甲丙显然,此时有3种不同的编号方法;②当丙的编号为“1”时,其他人的编号如下:1234丙甲丁乙丙丁甲乙丙丁乙甲显然,此时有3种不同的编号方法;③当丁的编号为“1”时,其他人的编号如下:1234丁甲乙丙丁丙甲乙丁丙乙甲显然,此时有3种不同的编号方法.由分类加法计数原理,知不同的编号方法有3+3+3=9(种).18.48 含有★的平行四边形的左上角的顶点有4种可能,右下角的顶点有12种可能.由一个左上角顶点和一个右下角顶点就能构成一个平行四边形,所以共有48个含有★的平行四边形.4
