课时规范练54 变量间的相关关系、统计案例一、基础巩固组1.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论不正确的是( )A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(x,y)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg2.根据如下样本数据:x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为y^=b^x+a^,则( ) A.a^>0,b^>0B.a^>0,b^<0C.a^<0,b^>0D.a^<0,b^<03.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是( )A.若K2的观测值为6.635,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺病有关系,因此在100个吸烟的人中必有99个患有肺病B.由独立性检验知,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,则他有99%的可能患肺病C.若在统计量中求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误D.以上三种说法都不正确〚导学号21500769〛4.两个随机变量x,y的取值如下表:x0134y2.24.34.86.7若x,y具有线性相关关系,且y^=b^x+2.6,则下列结论错误的是( )A.x与y是正相关B.当x=6时,y的估计值为8.3C.x每增加一个单位,y大约增加0.95个单位D.样本点(3,4.8)的残差为0.565.2022年春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女3015则下面的结论正确的是( )A.在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”7\n6.(2022山东潍坊二模,理12)某公司未来对一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x/元456789销量y/件908483807568由表中数据,求得线性回归方程为y^=-4x+a^,当产品销量为76件时,产品定价大致为 元. 7.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得∑i=110xi=80,∑i=110yi=20,∑i=110xiyi=184,∑i=110xi2=720.(1)求家庭的月储蓄y^对月收入x的线性回归方程y^=b^x+a^;(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.〚导学号21500770〛二、综合提升组8.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110附表:P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表,得到的正确结论是( )A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”9.已知x与y之间的几组数据如下表:x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程y^=b^x+a^,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是( )A.b^>b',a^>a'B.b^>b',a^<a'C.b^<b',a^>a'D.b^<b',a^<a'7\n10.某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm,170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. 11.(2022宁夏石嘴山第三中学模拟)为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出的茎叶图如下图,记成绩不低于70分者为“成绩优良”.(1)分别计算甲、乙两班20个样本中,化学成绩前十的平均分,并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳;(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总 计附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(n=a+b+c+d).独立性检验临界值表:P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635〚导学号21500771〛12.某贫困地区2022年至2022年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年 份2022202220222022202220222022年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析2022年至2022年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b^=∑i=1n(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2,a^=y-b^t.7\n三、创新应用组13.某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表所示:年收入x/万元24466677810年饮食支出y/万元0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系;(2)如果某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出.14.(2022福建南平一模)某单位N名员工参加“我爱阅读”活动,他们的年龄在25岁至50岁之间,按年龄分组:第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50],得到的频率分布直方图如图所示.下面是年龄的分布表区间[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人数28ab(1)求正整数a,b,N的值;(2)现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取42人,则年龄在第1,2,3组的员工分别抽多少?(3)为了了解该单位员工的阅读习惯,对第1,2,3组中抽出的42人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查,调查结果如下表所示:(单位:人)喜欢阅读国学类不喜欢阅读国学类合计男16420女81422合计241842根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为该单位员工“是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系”?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.8287\n〚导学号21500772〛课时规范练54 变量间的相关关系、统计案例1.D 由于线性回归方程中x的系数为0.85,因此y与x具有正的线性相关关系,故A正确;又线性回归方程必过样本点中心(x,y),因此B正确;由线性回归方程中系数的意义知,x每增加1cm,其体重约增加0.85kg,故C正确;当某女生的身高为170cm时,其体重估计值是58.79kg,而不是具体值,因此D不正确.2.B 由题表中数据画出散点图,如图,由散点图可知b^<0,a^>0,故选B.3.C 独立性检验只表明两个分类变量的相关程度,而不是事件是否发生的概率估计.4.D 由表格中的数据可知选项A正确;∵x=14(0+1+3+4)=2,y=14(2.2+4.3+4.8+6.7)=4.5,∴4.5=2b^+2.6,解得b^=0.95,∴y^=0.95x+2.6.当x=6时,y^=0.95×6+2.6=8.3,故选项B正确;由y^=0.95x^+2.6可知选项C正确;当x=3时,y^=0.95×3+2.6=5.45,残差是5.45-4.8=0.65,故选项D错误.5.A 由2×2列联表得到a=45,b=10,c=30,d=15,则a+b=55,c+d=45,a+c=75,b+d=25,ad=675,bc=300,n=100,计算得K2的观测值k=100×(675-300)255×45×75×25≈3.030.因为3.030>2.706,所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”,故选A.6.7.5 ∵x=6.5,y=80,∴a^=80-(-4)×6.5,解得a^=106,∴回归方程为y^=-4x+106.当y=76时,76=-4x+106,∴x=7.5,故答案为7.5.7.解(1)由题意知n=10,x=110∑i=110xi=8010=8,y=110∑i=110yi=2022=2,又∑i=110xi2-10x2=720-10×82=80,∑i=110xiyi-10xy=184-10×8×2=24,由此得b^=2480=0.3,a^=y-b^x=2-0.3×8=-0.4,7\n故所求线性回归方程为y^=0.3x-0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b^=0.3>0),因此x与y之间是正相关.(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^=0.3×7-0.4=1.7(千元).8.A 依题意,由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),得K2=110×(40×30-20×20)260×50×60×50≈7.8>6.635.所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”,故选A.9.C 由题意可知,b'=2,a'=-2,b^=∑i=16(xi-x)(yi-y)∑i=16(xi-x)2=57.a^=y-b^x=136-57×72=-13,故b^<b',a^>a',故选C.10.185 由题意,得父亲身高xcm与儿子身高ycm对应关系如下表:x173170176y170176182则x=173+170+1763=173,y=170+176+1823=176,∑i=13(xi-x)(yi-y)=(173-173)×(170-176)+(170-173)×(176-176)+(176-173)×(182-176)=18,∑i=13(xi-x)2=(173-173)2+(170-173)2+(176-173)2=18.∴b^=1818=1.∴a^=y-b^x=176-173=3.∴线性回归直线方程y^=b^x+a^=x+3.∴可估计孙子身高为182+3=185(cm).11.解(1)甲班化学成绩前十的平均分x甲=110(72+74+74+79+79+80+81+85+89+96)=80.9;乙班化学成绩前十的平均分x乙=110(78+80+81+85+86+93+96+97+99+99)=89.4.∵x甲<x乙,∴大致可以判断新课堂教学的教学效果更佳.(2)甲班乙班总计成绩优良101626成绩不优良10414总 计202040根据2×2列联表中的数据,得K2的观测值为k=40(10×4-16×10)226×14×20×20≈3.956>3.841,∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.12.解(1)由所给数据计算得t=17(1+2+3+4+5+6+7)=4,y=17(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,7\n∑i=17(ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,∑i=17(ti-t)(yi-y)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,b^=∑i=17(ti-t)(yi-y)∑i=17(ti-t)2=1428=0.5,a^=y-b^t=4.3-0.5×4=2.3,所求回归方程为y^=0.5t+2.3.(2)由(1)知,b^=0.5>0,故2022年至2022年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年约增加0.5千元.将2022年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得y^=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.13.解(1)由题意,得年收入x为解释变量,年饮食支出y为预报变量,作散点图如图.从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.因为x=6,y=1.83,∑i=110xi2=406,∑i=110xiyi=117.7,所以b^=∑i=110xiyi-10xy∑i=110xi2-10x2≈0.172,a^=y-b^x≈1.83-0.172×6=0.798.从而得到线性回归方程为y^=0.172x+0.798.(2)y^=0.172×9+0.798=2.346(万元).所以某家庭年收入为9万元时,可以预测其年饮食支出为2.346万元.14.解(1)总人数N=285×0.02=280,a=280×0.02×5=28.第3组的频率是1-5×(0.02+0.02+0.06+0.02)=0.4,所以b=280×0.4=112.(2)因为年龄低于40岁的员工在第1,2,3组,共有28+28+112=168(人),利用分层抽样在168人中抽取42人,每组抽取的人数分别为:第1组抽取的人数为28×42168=7(人),第2组抽取的人数为28×42168=7(人),第3组抽取的人数为112×42168=28(人),所以第1,2,3组分别抽7人、7人、28人.(3)假设H0:“是否喜欢阅读国学类书籍和性别无关系”,根据表中数据,求得K2的观测值k=42×(16×14-4×8)224×18×20×22≈8.145>7.879.从而能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为该单位的员工“是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系”.7
