提升训练7 动能定理的应用1.图中给出一段“S”形单行盘山公路的示意图,弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧,圆心分别为O1,O2,弯道中心线半径分别为r1=10m,r2=20m,弯道2比弯道1高h=12m,有一直道与两弯道圆弧相切。质量m=1200kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动,路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍,行驶时要求汽车不打滑。(sin37°=0.6,sin53°=0.8)(1)求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v1;(2)汽车以v1进入直道,以P=30kW的恒定功率直线行驶了t=8.0s,进入弯道2,此时速度恰为通过弯道2中心线的最大速度,求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功;(3)汽车从弯道1的A点进入,从同一直径上的B点驶离,有经验的司机会利用路面宽度,用最短时间匀速安全通过弯道,设路宽d=10m,求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上,计算时视汽车为质点)。2.(2022浙江金华十校期末)金华某商场门口根据金华“双龙”元素设计了一个精美的喷泉雕塑,两条龙喷出的水恰好相互衔接(不碰撞)形成一个“∞”-21-\n字形。某学习小组为了研究喷泉的运行原理,将喷泉简化成如图所示的模型,两个龙可以看成两个相同对称圆的一部分(近似看成在同一平面内),E、B两点为圆的最高点。抽水机M使水获得一定的初速度后沿ABCDEFG运动,水在C、F两处恰好沿切线进入管道,最后回到池中。圆半径为R=1m,角度θ=53°,忽略一切摩擦。(g取10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6)求:(1)水从B点喷出的速度多大?(2)取B处一质量为m=0.1kg的一小段水,管道对这一小段水的作用力多大?方向如何?(3)若管道B处横截面积为S=4cm2,则抽水机M的输出功率是多少?(水密度ρ=1×103kg/m3)3.如图甲所示为一景区游乐滑道,游客坐在坐垫上沿着花岗岩滑道下滑,他可依靠手、脚与侧壁间的摩擦来控制下滑速度。滑道简化图如乙所示,滑道由AB、BC、CD三段组成,各段之间平滑连接。AB段和CD段与水平面夹角为θ1,竖直距离均为h0,BC段与水平面夹角为θ2,竖直距离为h0。一质量为m的游客从A点由静止开始下滑,到达底端D点时的安全速度不得大于-21-\n,已知sinθ1=、sinθ2=,坐垫与滑道底面间摩擦及空气阻力均不计,若未使用坐垫,游客与滑道底面间的摩擦力大小Ff恒为重力的,运动过程中游客始终不离开滑道,问:(1)游客使用坐垫自由下滑(即与侧壁间无摩擦),则游客在BC段增加的动能ΔEk多大?(2)若游客未使用坐垫且与侧壁间无摩擦下滑,则游客到达D点时是否安全?(3)若游客使用坐垫下滑,则克服侧壁摩擦力做功的最小值是多少?4.某电视台拟推出一个水上娱乐节目,体验者乘坐滑水车运动过程可以简化为如下模型。如图所示,滑水车从倾角为θ=53°的长直轨道AC上的B点由静止开始下滑,到达C点后进入弧形的涉水轨道CDEF,其中CDE是半径为R=5m,圆心角为106°的圆弧,EF为半径为R=5m,圆心角为53°的圆弧,此时滑水车刚好能到达F点。已知滑水车与体验者的总质量为60kg,B点到C点的距离为L0=4m,滑水车与轨道AC间存在摩擦,涉水轨道CDEF可视为光滑轨道,不计滑水车受到的其他阻力作用,则-21-\n(1)求滑水车经过CDE轨道时对D点的压力大小;(2)求滑水车与轨道AC间的动摩擦因数μ;(3)若要使得滑水车能在F点水平抛出,求滑水车在AC上的释放点B'到C的距离L'的范围。5.如图所示,是某兴趣小组通过弹射器研究弹性势能的实验装置。半径为R的光滑半圆管道(管道内径远小于R)竖直固定于水平面上,管道最低点B恰与粗糙水平面相切,弹射器固定于水平面上。某次实验过程中,一个可看作质点的质量为m的小物块,将弹簧压缩至A处,已知A、B相距为L。弹射器将小物块由静止开始弹出,小物块沿圆管道恰好到达最髙点C。已知小物块与水平面间的动摩擦因素为μ,重力加速度为g,求:(1)小物块到达B点时的速度vB及小物块在管道最低点B处受到的支持力;-21-\n(2)小物块在AB段克服摩擦力所做的功;(3)弹射器释放的弹性势能Ep。6.自由式滑雪空中技巧是一项有极大观赏性的运动,其场地由①出发区、②助滑坡、③过渡区(由两段不同半径的圆弧平滑相连,其中CDE弧的半径为3m,DE弧的圆心角为60°)、④跳台(高度可选)组成。比赛时运动员由A点进入助滑区做匀加速直线运动,经过渡区后沿跳台的斜坡匀减速滑至跳台F处飞出,运动员的空中动作一般须在54km/h到68km/h的速度下才能成功完成。不计摩擦和空气阻力,g取10m/s2,求:(1)某运动员选择由A点无初速滑下,测得他在②、④两段运动时间之比为t1∶t2=3∶1,且已知AB=2EF,则运动员在这两段坡运动平均速度之比及加速度之比各为多少?(2)另一质量60kg的运动员,选择高h=4m的跳台,他要成功完成动作,在过渡区最低点D处至少要承受多大的支持力?7.如图所示,所有轨道均光滑,轨道AB与水平面的夹角为θ=37°,A点距水平轨道的高度为H=1.8m。一无动力小滑车质量为m=1.0kg,从A点沿轨道由静止滑下,经过水平轨道BC再滑入圆形轨道内侧,圆形轨道半径R=0.5m,通过圆形轨道最高点D然后从水平轨道E点飞出,E-21-\n点右侧有一壕沟,E、F两点的竖直高度差h=1.25m,水平距离s=2.6m。不计小滑车通过B点时的能量损失,小滑车在运动全过程中可视为质点,g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,求:(1)小滑车从A滑到B所经历的时间;(2)在圆形轨道最高点D处小滑车对轨道的压力大小;(3)要使小滑车既能安全通过圆形轨道又不掉进壕沟,则小滑车至少应从离水平轨道多高的地方由静止滑下。8.低碳环保绿色出行的理念逐渐深入人心,而纯电动汽车是时下相对较环保的汽车。为宣传“低碳环保”健康生活理念,某次志愿者举行玩具电动小汽车的表演。如图所示,质量m=2kg的小汽车以v0=4m/s的初速度从水平轨道A处出发,沿平直轨道AC运动,到达C点时关闭发动机,进入半径R=1.8m圆轨道,恰能做完整的圆周运动后又进入CE水平轨道向右运动,直至停下。已知小汽车与水平面的摩擦阻力恒为重力的,AB段运动过程中风力较大,可简化为受0.8N的水平向左的作用力,过B-21-\n点后小汽车所受空气作用力均忽略不计。圆轨道可视作光滑。已知AB段长度x1=3m,BC段长度x2=2m,CE段足够长。小汽车自身长度可忽略。求:(1)要使小汽车完成上述运动,AC段电动机至少提供多少能量?(2)若CE阶段启用动力回收系统,把机械能转化为电能,回收效率为30%,则该段小汽车还能滑行多远?9.如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置,滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成,其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L=3m,圆弧形轨道APD和BQC均光滑,BQC的半径为r=1m,APD的半径为R=2m,AB、CD与两圆弧形轨道相切,O2A、O1B与竖直方向的夹角均为θ=37°。现有一质量为m=1kg的小球穿在滑轨上,以v0的初速度从B点开始沿AB向上运动,小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ=,设小球经过轨道连接处均无能量损失。(g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8)求:(1)要使小球能通过圆弧形轨道APD的最高点,初速度v0至少多大?-21-\n(2)若以题(1)中求得的最小初速度v0从B点向上运动,小球刚能通过圆弧形轨道APD的最高点,求小球第一次到达Q点时对轨道的压力的大小;(3)若以题(1)中求得的最小初速度v0从B点向上运动,小球刚能通过圆弧形轨道APD的最高点,计算说明小球能经过C点的次数。10.如图所示为水上滑梯的简化模型:倾角θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接,起点A距水面的高度H=7m,BC长d=2m,端点C距水面的高度h=1m。质量m=50kg的运动员从滑道起点A点无初速地自由滑下,运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为μ=0.1。已知cos37°=0.8,sin37°=0.6,运动员在运动过程中可视为质点,g取10m/s2。求:(1)运动员从A滑到B所需的时间t;-21-\n(2)运动员到达C点时的速度大小vC;(3)保持水平滑道端点在同一竖直线上,调节水平滑道高度h和长度d到图中B'C'位置时,运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大,求此时滑道B'C'距水面的高度h'。11.(2022浙江七彩阳光联盟期初)如图甲为滑板运动,如图乙为滑板比赛滑道示意简图,滑行轨道均在同—竖直平面内,斜轨道AB的倾角θ=37°,与水平轨道BC间用小圆弧平滑相连(小圆弧的长度可忽略)。斜轨道DE倾角α=53°,与半径R=1.0m的光滑圆弧轨道EFG相切于E点,F为圆弧轨道最低点,已知H1=4.2m,L1=15.0m,H2=1.0m,H3=5.0m。设滑板与直轨道间的摩擦因数均为μ=0.25,运动员连同滑板的总质量m=60.0kg。运动员从A点由静止开始下滑,从C点水平飞出,与斜面DE碰撞后,没有反弹,继续滑行,经过圆弧轨道F点时对轨道压力大小为FN=4800N,从G点飞出后落在与G点同一水平面且间距为L2=6.0m的K点,轨迹最高点I与GK面的距离H4=1.8m。运动员连同滑板可视为质点,忽略空气阻力,sin37°=0.6,cos37°=0.8。求:甲-21-\n(1)运动员从C点水平飞出时的速度大小vC;(2)运动员落在斜面DE上与斜面碰撞过程中损失的动能ΔEk;(3)G点与圆心O的高度差Δh。-21-\n12.(2022浙江名校协作)如图所示,质量m=1kg的小物块静止放在粗糙水平面上,它与水平面表面的动摩擦因数μ=0.4,且与水平面边缘O点的距离s=8m。在台阶右侧固定了一个圆弧挡板,半径R=3m,圆心与桌面同高。今以O点为原点建立平面直角坐标系。现用F=8N的水平恒力拉动小物块,一段时间后撤去拉力,小物块最终水平抛出并击中挡板。(g取10m/s2)(1)若小物块恰能击中圆弧最低点,则其离开O点时的动能大小是多少?(2)在第(1)中拉力F作用的时间是多少?(3)若小物块在空中运动的时间为0.6s,则拉力F作用的距离是多少?-21-\n13.如图所示,一绝缘“⊂”形杆由两段相互平行的足够长的水平直杆PQ、MN和一半径为R的光滑半圆环MAP组成,固定在竖直平面内,其中MN杆是光滑的,PQ杆是粗糙的。整个装置处于一个风力水平向左的风洞中,现将一质量为m的小环套在MN杆上,小环所受的风力F始终为重力的。(1)若将小环由D点静止释放,则刚好能到达P点,求DM间的距离;(2)若将小环由M点右侧5R处静止释放,设小环与PQ杆间的动摩擦因数为μ,小环所受最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等,求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功。答案：1.答案(1)5m/s (2)-2.1×104J (3)1.85s解析(1)汽车沿弯道1行驶的最大速度为v1,有kmg=m-21-\n得v1==5m/s(2)汽车沿弯道2行驶的最大速度为v2,有kmg=m得v2==5m/s直道上由动能定理有P·t-mgh+Wf=代入数据可得Wf=-2.1×104J(3)=1.25mg⇒v=可知r增大v增大,r最大,切弧长最小,对应时间最短,所以轨迹设计应如下图所示由图可以得到r'2=+[r'-(r1-)]2代入数据可以得到r'=12.5m汽车沿着该路线行驶的最大速度v'==12.5m/s由sinθ==0.8可知,对应的圆心角度2θ=106°线路长度s=×2πr'最短时间t'=≈1.85s2.答案(1)3m/s (2)水在B点受到管道竖直向下的压力,为0.8N (3)49.2W解析(1)水做平抛运动,竖直方向h=R+Rcosθ=1.6m根据=2gh得vCy=4m/s又因为水在C点刚好与圆相切,所以tanθ=所以vB=3m/s-21-\n(2)以小段水为研究对象。当水在最高点B受到的管道作用力是0时,有Fn=mg=mv临=m/s<3m/s故水在B点受到管道竖直向下的压力,mg+FN=m得FN=0.8N(3)以单位时间(t=1s)从B点喷出的水为研究对象,m0=ρSvBt由能量守恒定律可得,以A处为势能零点有Pt=m0g(2R)+m0得P=34.8W≈49.2W3.答案(1)mgh0 (2)不安全 (3)mgh0解析(1)重力在BC段做的功即为增加的动能ΔEk可得ΔEk=WG=mgh0(2)在AD段,由动能定理,得mg-12Ffh0=vD=到达D点时不安全(3)到达D点的速度为,对应的功最小。在AD段,由动能定理,得mg(h0+h0+h0)-W=,解得W=mgh04.答案(1)1560N (2)0.5 (3)4m<L'≤9m解析(1)滑水车刚好能到达F点的速度vF=0,根据几何关系可知DF间的高度差hDF=2R(1-cos53°)=4m-21-\n从D到F点,由机械能守恒,有=mghDF,解得vD=m/s对D点,设滑水车受到的支持力为FD,由牛顿第二定律,有FD-mg=m,解得FD=1560N由牛顿第三定律,滑水车对轨道的压力为1560N(2)研究从B到F的整个过程中,动能变化为0,由动能定理可得WG+Wf=0其中WG=mgL0sin53°-mgR(1-cos53°),Wf=-μmgL0cos53°代入解得μ=0.5(3)要使滑水车在F点水平抛出,首先需满足其恰好到达F点,对应临界距离L'=L0=4m滑水车能在F点水平抛出的另一临界条件是滑水车在F点不受支持力,对应情况mg=m,解得vF'=m/s研究从B'到F点,由动能定理有mgL'sin53°-mgR(1-cos53°)-μmgL'cos53°=mvF'2得L'=9m由以上讨论可知,滑水车在AC上的释放点B'到C的距离L'需满足4m<L'≤9m5.答案(1)5mg (2)μmgL (3)2mgR+μmgL解析(1)根据题意,小物块恰好到C点,则vC=0从B点到C点小物块机械能守恒有=2mgR解得vB=2B处,由牛顿第二定律得FN-mg=m解得FN=5mg;(2)小物块在AB段克服摩擦力所做的功WAB=μmgL;(3)由能量守恒可知,弹射器释放的弹性势能Ep=WAB+2mgR=2mgR+μmgL。6.答案(1)=2∶3,a1∶a2=2∶3(2)7300N解析(1)两段运动的平均速度之比=2∶3设滑到B点速度为v1,则滑到E点速度也为v1,又设滑到F点速度为v2。则由,得v1=2v2-21-\n由a1=,a2=,得a1∶a2=2∶3(2)从D点到F点,根据动能定理有-mg[h+R(1-cos60°)]=mv2'2-其中取v2'=54km/h=15m/s在D点,FN-mg=m解得运动员在D点承受的支持力FN=mg+m=7300N7.答案(1)1s (2)22N (3)1.352m解析(1)a=gsinθ,x=,x=at2,得t=1s(2)小滑车由A到D过程mg(H-2R)=在D点mg+FN=m,得FN=22N由牛顿第三定律知小滑车对轨道的压力为22N。(3)小滑车要能安全通过圆形轨道,在平台上速度至少为v1,则+mg(2R)=,mg=m,解得v1=5m/s小滑车要能越过壕沟,在平台上速度至少为v2,则h=gt2,s=v2t,解得v2=5.2m/s因为v2>v1,所以只要mgH'=得H'=1.352m。8.答案(1)86.4J (2)31.5m解析(1)小汽车与水平轨道的摩擦阻力Ff=mg=2N设小车在D点的速度为v1,小车恰能做完整的圆周运动,在D点应满足mg=m,解得v1=m/s-21-\n从A到D的过程,运用动能定理有W-Ff(x1+x2)-Fx1-mg·2R=得W=86.4J(2)从D到C的过程,运用动能定理有mg·2R=得v2=3m/s在CE阶段开启动力回收系统,回收效率30%,即有70%的能量用于克服摩擦力做功,有Ffx3=×70%得x3=31.5m9.答案(1)2m/s (2)40N (3)4次解析(1)因为小球是穿在杆上,所以到达最高点时速度可以为0,由B到圆弧形轨道APD的最高点,根据动能定理得-mg[Lsinθ+(R-Rcosθ)]-μmgLcosθ=0-解得v0=2m/s(2)-μmgLcosθ-μmgL+mgrcosθ=解得vQ=2m/s小球第一次到达Q点时,轨道对小球的支持力为=40N所以,小球第一次到达Q点时对轨道的压力为40N。(3)当小球在B点以v0=2m/s向上运动,再次回到B点时,损失的机械能为μmgLcosθ+μmgL=18J,再次回到B点时动能为12J,由于mgsinθ>μmgcosθ,分析知,小球沿AB上升到某点后将下滑,第三次经过B点时动能小于12J,第二次经过C点时动能大于22J,小于30J,第三次经过C点时动能大于2J,小于10J,此后小球将无法再次回B点,下滑后第四次经过C点,在未到D点时停止,所以小球能经过C点的次数为4次。10.答案(1)s (2)10m/s (3)3m解析(1)A→B:mgsinθ-μmgcosθ=ma-21-\na=gsinθ-μgcosθ=5.2m/s2at2t=s(2)运动员从A滑到C的过程中,克服摩擦力做功为W=μmgcosθ+μmgd=μmg[d+(H-h)cotθ]=500J由动能定理有mg(H-h)-W=mv2-0得运动员滑到C点时速度的大小v=10m/s(3)在从C'点滑出至落到水面的过程中,运动员做平抛运动的时间为t,h'=gt2,t=下滑过程中克服摩擦做功保持不变W=500J根据动能定理得mg(H-h')-W=mv'2-0,v'=运动员在水平方向的位移x=v't==当h'==3m时,水平位移最大。11.答案(1)3m/s (2)1897.5J (3)0.55m解析(1)设运动员从A点到C点的过程中克服阻力做功Wf,由动能定理得-0=mgH1-WfWf=μmgcosθ·+μmg·L1=·cosθ+代入数据,解得-21-\nvC==3m/s(2)运动员从C点水平飞出到落到DE轨道上的M点过程中做平抛运动,设经过的时间为t1水平位移x=vCt1竖直位移y=由几何关系tanα=解得t1=1s则运动员下落的高度y==5m运动员从C点水平飞出到落到DE轨道上的M点过程中,由机械能守恒定律可得EkM1=+mgy=3270JM点距地面的高度hM=H3+H2-y=1m设运动员从M点离开时的动能为EkM2,经过F点的速度为vF,从离开M到圆弧轨道最低点F,由动能定理可得-EkM2=mg[hM+R(1-cosα)]-μmgcosα在F点,由牛顿第二定律有FN-mg=m联立解得vF=m/s,EkM2=1372.5J运动员落在斜面DE上与斜面碰撞过程中损失的动能DEk为ΔEk=EkM1-EkM2=1897.5J(3)从G点飞出后的运动过程中相对于GK水平面上升到最大高度I处的速度为vI,I到K做平抛运动,则竖直方向H4=水平方向L2=vIt2代入数据,解得vI=5m/s由F到I过程,由动能定理可有-21-\n=-mg(hFG+H4)代入数据得hFG=0.45m由几何关系得Δh=R-hFG=0.55m12.答案(1)7.5J (2)s (3)m解析(1)小物块离开O点后开始做平抛运动,故R=v0tR=gt2Ek0=即Ek0=7.5J。(2)由开始运动到小物块到达O点,根据动能定理得F·x-μmgs=Ek0解得x=m由牛顿第二定律得F-μmg=ma,解得a=4m/s2at2=x,解得t=s。(3)小物块离开O点后开始做平抛运动,由下落时间可知下落距离y=gt2,y=1.8m,①若小物块落到半圆的左半边,则平抛运动水平位移x1=R-=0.6mv1==1m/sF·L1-μmgs=解得L1=m②若小物块落到半圆的右半边,同理可得-21-\nv2=9m/sL2=m>8m(舍去)。13.答案(1)4R (2)μ≥时,为;μ<时,为mgR解析(1)设DM间距离为x,对小环从D点到P点过程由动能定理得Fx-2mgR=0-0又有F=mg解得x=4R。(2)若μ≥,则μmg≥F设小环到达P点右侧距离P点x1处静止,由动能定理得F(5R-x1)-2mgR-μmgx1=0解得x1=则整个运动过程中克服摩擦力所做的功Wf=μmgx1=若μ<,则μmg<F小环经过往复运动,最后不能达P点右侧,全过程由动能定理得F·5R-2mgR-Wf=0解得Wf=mgR。-21-
