提升训练11 带电粒子在磁场中的运动1.如图所示,O'PQ是关于y轴对称的四分之一圆,在PQMN区域有均匀辐向电场,PQ与MN间的电压为U。PQ上均匀分布带正电的粒子,可均匀持续地以初速度为零发射出来,任一位置上的粒子经电场加速后都会从O'进入半径为R、中心位于坐标原点O的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直xOy平面向外,大小为B,其中沿+y轴方向射入的粒子经磁场偏转后恰能沿+x轴方向射出。在磁场区域右侧有一对平行于x轴且到x轴距离都为R的金属平行板A和K,金属板长均为4R,其中K板接地,A与K两板间加有电压UAK>0,忽略极板电场的边缘效应。已知金属平行板左端连线与磁场圆相切,O'在y轴(0,-R)上。(不考虑粒子之间的相互作用力)(1)求带电粒子的比荷;(2)求带电粒子进入右侧电场时的纵坐标范围;(3)若电压UAK=,求到达K板的粒子数与进入平行板总粒子数的比值。2.如图为一装放射源氡的盒子,静止的氡核Rn)经过一次α衰变成钋Po,新核Po-23-\n的速率约为2×105m/s。衰变后的α粒子从小孔P进入正交的电磁场区域Ⅰ,且恰好可沿中心线匀速通过,磁感应强度B=0.1T。之后经过A孔进入电场加速区域Ⅱ,加速电压U=3×106V。从区域Ⅱ射出的α粒子随后又进入半径为r=m的圆形匀强磁场区域Ⅲ,该区域磁感应强度B0=0.4T、方向垂直纸面向里。圆形磁场右边有一竖直荧光屏与之相切,荧光屏的中心点M和圆形磁场的圆心O、电磁场区域Ⅰ的中线在同一条直线上,α粒子的比荷为=5×107C/kg。(1)请写出衰变方程,并求出α粒子的速率(保留一位有效数字);(2)求电磁场区域Ⅰ的电场强度大小;(3)粒子在圆形磁场区域Ⅲ的运动时间多长?(4)求出粒子打在荧光屏上的位置。3.(2022浙江名校协作体高三试题)如图所示,LMN是竖直平面内固定的光滑绝缘轨道,MN水平且足够长,LM下端与MN相切。在OP与QR之间的区域内有一竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。C、D是质量为m和4m的绝缘小物块(可视为质点),其中D-23-\n带有电荷量q,C不带电。现将物块D静止放置在水平轨道的MO段,将物块C从离水平轨道MN距离h高的L处由静止释放,物块C沿轨道下滑进入水平轨道,然后与D相碰,碰后物块C被反弹滑至斜面处,物体D进入虚线OP右侧的复合场中继续运动,最后从RQ侧飞出复合场区域。求:(1)物块D进入磁场时的瞬时速度vD;(2)若物块D进入磁场后恰好做匀速圆周运动,求所加匀强电场的电场强度E的值及物块D的电性;(3)若物块D进入磁场后做匀速圆周运动,飞离复合场区域时速度方向与水平方向夹角为60°,求物块D飞出QR边界时与水平轨道的距离d。-23-\n4.如图,在xOy坐标平面第一象限内x≤1m的范围中存在以y=x2为上边界的沿y轴正方向的匀强电场,电场强度大小E1=2.0×102N/C,在直线MN(方程为y=1m)的上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。在x=-1m处有一与y轴平行的接收板PQ,板两端分别位于MN直线和x轴上;在第二象限,MN和PQ围成的区域内存在沿x轴负方向的匀强电场,电场强度大小为E2。现有大量的带正电粒子从x轴上0<x≤1m的范围内同时由静止释放,粒子的比荷均为=1.6×105C/kg,不计粒子的重力及其相互作用。(1)求在x=0.5m处释放的粒子射出电场E1时的速度大小;(2)若进入磁场的所有带电粒子均从MN上同一点离开磁场,求磁感应强度B的大小;(3)若在第(2)问情况下所有带电粒子均被PQ板接收,求电场强度E2的最小值和在E2最小的情况下最先打在接收板上的粒子运动的总时间。-23-\n5.如图所示,静止于A处的带正电粒子,经加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器,从P点垂直CN竖直向上进入矩形区域的有界匀强磁场(磁场方向如图所示,其中CNQD为匀强磁场的边界)。静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场,方向如图所示。已知加速电场的电压为U,圆弧虚线的半径为R,粒子质量为m、电荷量为q,QN=2d,PN=3d,粒子重力不计。(1)求粒子在辐向电场时其所在处的电场强度E;(2)若粒子恰好能打在N点,求矩形区域QNCD内匀强磁场的磁感应强度B的值;(3)要求带电粒子最终能打在QN上,求磁场磁感应强度大小B的取值范围。-23-\n6.某装置用磁场控制带电粒子的运动,工作原理图如图所示。装置的长L=2d,上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小相同、方向与纸面垂直且相反,两磁场的间距为d,装置右端有一收集板,N、P为板上的两点,N、P分别位于下方磁场的上、下边界上。一质量为m、电荷量为-q的粒子静止在A处,经加速电场加速后,以速度v0沿图中的虚线从装置左端的中点O射入,方向与轴线成60°角。可以通过改变上下矩形区域内的磁场强弱(两磁场始终大小相同、方向相反),控制粒子到达收集板上的位置。不计粒子的重力。(1)试求出加速电压U的大小;(2)若粒子只经过上方的磁场区域一次,恰好到达收集板上的P点,求磁场区域的宽度h;(3)欲使粒子经过上下两磁场并到达收集板上的N点,磁感应强度有多个可能的值,试求出其中的最小值B。7.如图所示,真空中有以(r,0)点为圆心,以r为半径的圆形匀强磁场区,磁感强度大小为B,-23-\n方向垂直于纸面向里,在y=r的虚线上方足够大的范围内,有水平向左的匀强电场,电场强度的大小为E,一质子从O点沿与x轴正方向成30°斜向下射入磁场(如图中所示),经过一段时间后由M点(图中没有标出)穿过y轴。已知质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,质子的电荷量为e,质量为m,重力不计。求:(1)质子运动的初速度大小;(2)M点的坐标;(3)质子由O点运动到M点所用时间。8.扫描电子显微镜在研究微观世界里有广泛的应用,通过磁聚焦之后的高能电子轰击物质表面,被撞击的样品会产生各种电磁辐射,通过分析这些电磁波就能获取被测样品的各种信息。早期这种仪器其核心部件如图甲所示。其原理如下:电子枪发出的电子束,进入磁场聚焦室(如图甲),聚焦磁场由通电直导线产生,磁场通过“释放磁场的细缝”释放而出,通过控制“释放磁场细缝”的宽度、磁场的强弱和方向使电子进行偏转,让聚焦之后的电子集中打在样品上。-23-\n(1)要使射入聚焦室的电子发生图乙的偏转,请说明图甲中左侧和右侧通电直导线的电流方向(只要回答“向上”或者“向下”);(2)图乙为聚焦磁场的剖面图,要产生图示的聚焦效果,请说明该平面中磁场的分布情况:(3)研究人员往往要估测聚焦磁场区域中各处磁感应强度大小,为了研究方便假设电子运动经过的磁场为匀强磁场,若其中一个电子从A点射入(如图丙所示),从A点正下方的A'点射出,入射方向与OA的夹角等于出射方向与O'A'的夹角,电子最终射向放置样品的M点,求该磁感应强度的大小?已知OA=O'A'=d,AA'=L,O'M=h,电子速度大小为v,质量为m,电荷量为e。9.已知放射源发生β衰变放出的β粒子垂直射入如图磁场中,其中区域一的宽度为d,区域二的宽度为3d。两个区域存在方向不同垂直于纸面的磁场,其磁感应强度大小都为B,-23-\n如图所示。以粒子进入磁场点处为原点,射入方向为x轴正方向建立平面直角坐标系。已知电子的比荷为K。忽略电子间的相互作用与重力作用。(1)求粒子能够进入区域二的最小速度v1。(2)当v1满足(1)小题所给值时,求当粒子速度为v2=时离开区域一时的坐标。(3)当v1满足(1)小题所给值时,若高速运动的带电粒子能使荧光屏发光,已知在磁场区域一的左边边界铺设荧光屏,已知放射源放出的粒子速度为3v1>v>0.5v1那么发光的亮线坐标范围是多少?-23-\n10.如图所示,在直角坐标系xOy的第一象限中分布着沿y轴负方向的匀强电场,在第四象限内分布着垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量为m0,电荷量为q的正粒子(不计重力)在A(0,3)点平行x轴入射,初速度vA=120m/s,该粒子从电场进入磁场,又从磁场进入电场,并且只通过x轴上的点P(4.5,0)及Q(8,0)各一次,已知该粒子的比荷为=108C/kg。求:(1)电场强度的大小;(2)磁感应强度的大小;(3)粒子在磁场中运动的时间。11.-23-\n(2022浙江稽阳十月联考)如图所示,在半径为b(大小未知)的圆形区域内固定放置一绝缘材料制成的边长为L的弹性等边三角形框架DEF,其中心O位于圆形区域的圆心。在三角形框架DEF与圆周之间的空间中充满磁感应强度大小为B的匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里。在框架DEF内平行于EF边放置的粒子加速器板M、N的间距为d,N板紧靠EF边,N板及EF中点S处均开有小孔。在两板间靠近M板处有一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子由静止释放,粒子经过S处的速度大小为v=,方向垂直于EF边并指向磁场。若粒子与三角形框架的碰撞均为弹性碰撞,且粒子在碰撞过程中质量、电荷量均不变,(不计带电粒子的重力,不计带电粒子之间的相互作用)(1)求粒子加速器中匀强电场的电场强度大小。(2)若从S点射出的粒子能再次返回S点,则匀强磁场区域的横截面圆周半径b至少为多大?(3)若匀强磁场区域的横截面圆周半径b满足第(2)问的条件,则从M板处出发的带电粒子第一次返回出发点的时间是多少?12.“太空粒子探测器”是由加速、偏转和收集三部分组成,其原理可简化如下:如图甲所示,辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面,圆心为O,外圆弧面AB的半径为L,电势为φ1,内圆弧面CD的半径为,电势为φ2。足够长的收集板MN平行于边界ACDB,O到MN板的距离OP为L。假设太空中漂浮着质量为m、电荷量为q的带正电粒子,它们能均匀地吸附到AB圆弧面上,并被加速电场从静止开始加速,-23-\n不计粒子间的相互作用和其他星球对粒子引力的影响。(1)求粒子到达O点时速度的大小;(2)如图乙所示,在边界ACDB和收集板MN之间加一个半圆形匀强磁场,圆心为O,半径为L,磁场方向垂直纸面向内,则发现从AB圆弧面收集到的粒子有能打到MN板上(不考虑过边界ACDB的粒子再次返回),求所加磁场磁感应强度B0的大小;(3)随着所加磁场大小的变化,试定量分析收集板MN上的收集效率η与磁感应强度B的关系。答案：1.答案(1) (2)-R~R (3)解析(1)qU=mv2,得v=由已知条件,知偏转半径r=RBqv=m-23-\n得(2)因为r=R,所有粒子经磁场偏转后都平行于x轴射出。沿QN方向射入时,对应的圆心角为135°,离开磁场时a点的纵坐标为ya=R沿PM方向入射的带电粒子离开磁场的出发点b的纵坐标yb=-R所以进入电场时的纵坐标范围为-R~R(3)E=,F=Eq=ma,y=at2,vt=4R,得y=R从纵坐标y=0.5R进入偏转电场的粒子恰能打到K板右边缘,其进入磁场时的速度与y轴夹角为30°,所以比例η=2.答案(1RnPoHe 1×107m/s(2)1×106V/m (3)×10-7s (4)α粒子打在荧光屏上的M点上方1m处解析(1)衰变方程RnPoHe ①衰变过程动量守恒,0=mPov1-mHev0 ②联立①②可得v0=1.09×107m/s≈1×107m/s ③(2)α粒子匀速通过电磁场区域Ⅰ,qE=qv0B ④联立③④可得E=1×106V/m ⑤(3)α粒子在区域Ⅱ被电场加速,qU=mv2-所以v=2×107m/s ⑥α粒子在区域Ⅲ中做匀速圆周运动,qvB=m所以R=1m ⑦又T= ⑧如图所示,由几何关系可知,α粒子在磁场中偏转角θ=60°,所以α粒子在磁场中的运动时间t=T ⑨-23-\n联立⑧⑨可得t=×10-7s(4)α粒子的入射速度过圆形磁场圆心,由几何关系可知,出射速度方向也必然过圆心O,几何关系如图,tan60°=,所以x=1m,α粒子打在荧光屏上的M点上方1m处。3.答案(1) (2),带正电 (3)解析(1)对物块C,根据动能定理有mgh=mv2,得v=反弹后=mg,得v1=碰撞时由动量守恒定律有mv=-mv1+4mvD代入得vD=(2)若物块D做匀速圆周运动,则电场力与重力相等,有4mg=Eq,得E=,带正电(3)由几何关系有d=(1-cos60°)R=,R=得d=4.答案(1)4×103m/s (2)0.1T (3)8.0×102N/C 5.7×10-4s解析(1)由题意得,于x处释放的粒子在电场中加速的位移为y,且满足y=x2-23-\n设射出电场E1时的速度大小为v,由动能定理可得qyE1=mv2联立两式可求得v=x代入数值求解得v0.5=4×103m/s(2)粒子进入磁场后做匀速圆周运动,设半径为r,由牛顿第二定律可得qvB=联立上式可求得r=x当磁感应强度B一定时,轨道半径r与x成正比,当x趋近于零时,粒子做圆周运动的轨道半径趋近于零,即所有粒子经磁场偏转后都从C点射出磁场,且有2r=x联立上两式可得B=0.1T(3)粒子从C点沿y轴负方向进入电场强度大小为E2的范围后,都在电场力作用下做类平抛运动,若所有带电粒子均被PQ板接收,则从x=1m处出发的粒子刚好运动到Q点,对应电场强度E2的最小值E2min,设该粒子在电场强度大小为E2min的电场中运动的初速度为v1,时间为t3,加速度为a2,有x=a2,y=v1t3,qE2min=ma2将x=1m,y=1m代入方程可求得E2min=8.0×102N/C由题意得,在E2最小的情况下最先打在接收板上的粒子为从x=1m处出发的粒子,设该粒子在电场强度大小为E1的电场中运动的时间为t1,在磁场中运动的时间为t2,则有v1=t1,在匀强磁场中转过θ=π的圆心角,有πr=v1t2故该粒子所经历的总时t=t1+t2+t3从而求得t≈5.7×10-4s5.答案(1) (2) (3)≤B≤解析(1)粒子在加速电场中加速,根据动能定理得qU=mv2,解得v=粒子在辐向电场中做匀速圆周运动,电场力提供向心力,有qE=解得E=(2)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律,有qvB=-23-\n则r=,粒子恰好能打在N点,则r=d,可得B=(3)由r=粒子能打在QN上,则既没有从DQ边出去,也没有从PN边出去。由几何关系可知,粒子能打到QN上,必须满足d≤r≤2d,则有≤B≤6.答案(1) (2) (3)解析(1)由动能定理可知qU=得U=(2)设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为r,依题意作出带电粒子的运动轨迹如图甲所示。甲由图中几何关系有L=3rsin60°+3×,h=r(1-cos60°)解得h=(3)当B为最小值时,粒子运动的轨道半径r则为最大值,即粒子只经过上方和下方的磁场区域各一次,恰好到达收集板上的N点。设带电粒子此时运动的轨道半径为r',带电粒子的运动轨迹如图乙所示。-23-\n乙由图中几何关系有L=4r'sin60°+3×根据牛顿第二定律和洛伦兹力大小公式有qv0B=m联立以上各式解得B=7.答案(1) (2)(0,r+Br)(3)解析(1)质子在磁场中做匀速圆周运动,有Bev=mv=(2)质子在磁场和电场中运动轨迹如图所示,质子在磁场中转过120°角后,从P点再匀速运动一段距离后垂直电场线进入电场,由几何关系得P点距y轴的距离为x2=r+rsin30°=1.5r质子在电场中做类平抛运动,所以有Ee=ma①x2=②-23-\n由①②得t3=M点的纵坐标y=r+vt3=r+Br所以M点坐标为(0,r+Br)(3)质子在磁场中运动时间t1=T=由几何关系得P点的纵坐标y2=r所以质子匀速运动时间t2=质子由O点运动到M点所用时间t=t1+t2+t3=。8.答案(1)向下 向下 (2)右侧区域:磁场方向垂直纸面向内;中间分界线上:磁感应强度为零。左侧区域:磁场方向垂直纸面向外 (3)解析(1)左侧的通电直导线的电流方向向下;右侧的通电直导线的电流方向向下。(2)要产生图示的聚焦效果,该平面中磁场的分布情况是越靠近中心线处的磁感应强度越小,左右对称;所以归纳为:右侧区域:磁场方向垂直纸面向内;中间分界线上:磁感应强度为零。左侧区域:磁场方向垂直纸面向外;(3)设∠A'MO'=θ,电子在磁场中做匀速圆周运动的半径是r,则可得rsinθ=由几何关系可知sinθ=d解得r=由带电粒子在磁场中的受力关系可知evB=m-23-\n该磁感应强度的大小是B=9.答案(1)KBd (2)d,- (3)(0,-2d)到(0,4d-4d)解析(1)进入区域二的最小速度情况如图所示:由洛伦兹力提供向心力得ev1B=得v1=KBd(2)电子以速度v1在区域一中运动,其运动半径r'=。当v2=时,其轨迹半径r2=其运动情况如图所示:由几何关系可知,粒子偏转角θ=37°所以离开区域一时,粒子水平方向位移x=d,竖直方向的位移y=-=-离开区域一时的坐标为d,-(3)当0.5v1<v<v1时,临界情况如图所示。-23-\n亮线范围是(0,-2d)到(0,-d)当v1<v<2v1时,临界情况如图所示。粒子达到荧光屏距离原点距离y=4d-4d亮线范围为(0,-2d)到(0,4d-4d)当2v1<v<3v1时,粒子穿出区域二右边界,不能打到荧光屏上。综上,亮线坐标范围为(0,-2d)到(0,4d-4d)10.答案(1)4.27×10-5N/C (2)9.14×10-7T (3)0.02s解析粒子先在电场中做类平抛运动,后在磁场中做匀速圆周运动,如图。(1)设OA的长度为h,OP的长度为x,粒子从A运动到P的时间为t,则有x=vAt-23-\ny=at2=t2代入数据解得t=sE≈4.27×10-5N/C(2)vy=2=160m/sv==200m/scosθ==0.8,则θ=37°由几何关系可得粒子做圆周运动的半径R=m则B=≈9.14×10-7T(3)粒子在磁场中运动的圆心角α=106°则粒子在磁场中运动的时间t'=T=≈0.02s11.答案(1) (2)L (3)解析(1)带电粒子在匀强电场中做匀加速运动,由动能定理有Eqd=mv2解得E=(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有Bqv=-23-\n解得r=粒子运动轨迹如图所示粒子的运动轨迹与磁场圆内切时磁场圆半径最小,由几何关系得bmin=r+L(3)粒子做圆周运动的周期T=粒子在磁场中运动的总时间t1=T×3=粒子在电场中运动的总时间t2=×2=粒子运动一周的总时间t=t1+t2=。12.答案(1) (2) (3)当B≤时,收集效率η=1-arcsin;当B>时,收集效率η=0解析(1)带电粒子在电场中加速时,电场力做正功,得qU=mv2-0U=φ1-φ2解得v=。甲(2)从AB圆弧面收集到的粒子有能打到MN板上,则刚好不能打到MN-23-\n上的粒子从磁场中出来后速度的方向与MN平行,则入射的方向与AB之间的夹角是60°,在磁场中运动的轨迹如图甲所示,轨迹圆心角θ=60°。根据几何关系,粒子圆周运动的半径r=L由洛伦兹力提供向心力得qvB0=m联立解得B0=。(3)磁感应强度增大,则粒子在磁场中的运动的轨道半径减小,由几何关系知,收集效率变小。设粒子在磁场中运动圆弧对应的圆心角为α,如图乙所示。乙由几何关系可知sin收集板MN上的收集效率η==1-arcsin当B>时,收集效率η=0-23-
