2022年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2022•杭州一模）若复数z=2+，其中i是虚数单位，则复平面上，复数z所对应的点在（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：把复数z中的分式部分利用复数的除法运算进行化简，得到复数z的实部和虚部，则答案可求．解答：解：由=．复数z的实部为2，虚部为﹣1，所以复数z对应的点在第四象限．故选D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，考查了复数代数表示法的几何意义，是基础题． 2．（5分）（2022•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ） A．B．C．4D．12考点：向量加减混合运算及其几何意义．分析：根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．解答：解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12∴|a+2b|=，故选B点评：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定． 13\n3．（5分）（2022•杭州一模）设a∈R，则“a=4”是“直线l1：ax+2y﹣3=0与直线l2：2x+y﹣a=0平行”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定．专题：阅读型．分析：根据直线ax+2y﹣3=0与直线l2：2x+y﹣a=0的斜截式，求出平行的条件，验证充分性与必要性即可．解答：解：当a=4时，直线4x+2y﹣3=0与2x+y﹣4=0平行，∴满足充分性；当：ax+2y﹣3=0与直线l2：2x+y﹣a=0平行⇒a=4，∴满足必要性．故选C点评：本题考查充要条件的判定． 4．（5分）（2022•杭州一模）设函数f（x）=2|x|，则下列结论正确的是（ ） A．f（﹣1）＜f（2）＜f（﹣）B．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）D．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式，可判断出函数f（x）=2|x|为偶函数且在[0，+∞）上为增函数，将三个自变量化到同一单调区间内，进而利用单调性可比较大小．解答：解：当x≥0时，f（x）=2|x|=2x为增函数又∵f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x）故函数f（x）=2|x|为偶函数故f（﹣1）=f（1），f（﹣）=f（）∵2＞＞1故f（2）＞f（）＞f（1）即f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）故选D点评：本题考查的知识点是指数函数的单调性，函数的奇偶性，其中分析出函数的单调性是解答的关键． 5．（5分）（2022•杭州一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣a7＜a1＜a8，则必定有（ ） A．S7＞0，且S8＜0B．S7＜0，且S8＞0C．S7＞0，且S8＞0D．S7＜0，且S8＜0考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知﹣a7＜a1＜a8，可得a7+a1＞0，d＞0，a8＞a7，结合等差数列的求和公式可判断解答：解：∵﹣a7＜a1＜a8，13\n∴a7+a1＞0，7d=a8﹣a1＞0∴d＞0，a8＞a7∴＞0∵S8=4（a1+a8）＞4（a1+a7）＞0故选C点评：本题主要考查等差数列的前n项和以及数列的函数特性．解决本题的关键是由a1＜0分析出数列递增． 6．（5分）（2022•杭州一模）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（ ） A．5B．6C．7D．8考点：循环结构．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论．解答：解：当输入的值为n=5时，n不满足第一判断框中的条件，n=16，k=1，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=1，k=5，n满足第二判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选A．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．13\n 7．（5分）（2022•杭州一模）设α是第三象限角，且tanα=2，则=（ ） A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα=﹣，化简要求的式子为cosα，从而求得结果．解答：解：∵α是第三象限角，且tanα==2，可得sin2α+cos2α=1，可得cosα=﹣．故==cosα=﹣，故选B．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题． 8．（5分）（2022•杭州一模）设函数f（x）=|logax|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n﹣m的最小值为，则实数a的值为（ ） A．或B．或C．或D．或考点：对数函数的单调区间．专题：函数的性质及应用．分析：通过分类讨论和利用对数函数的单调性即可得出．解答：解：①若1≤m＜n，则f（x）=﹣logax，∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）=0，f（n）=1，解得m=1，n=，又∵n﹣m的最小值为，∴，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=．②若0＜m＜n＜1，则f（x）=logax，∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）=1，f（n）=0，解得m=a，n=1，又∵n﹣m的最小值为，∴，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=．13\n③若0＜m＜1＜n时，不满足题意．故选B．点评：熟练掌握分类讨论的思想方法和对数函数的单调性是解题的关键． 9．（5分）（2022•杭州一模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF2F1等于（ ） A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF1|=n，|PF2|=m，则由双曲线的定义可得m﹣n=2a①，再由m2+n2=4c2②，以及=5可得m=8a，故cos∠PF2F1==，运算求得结果．解答：解：设|PF1|=n，|PF2|=m，则由双曲线的定义可得m﹣n=2a①，且三角形PF1F2为直角三角形，故有m2+n2=4c2②．再由=5可得c=5a．把①和②联立方程组解得m=8a，故cos∠PF2F1====，故选C．点评：本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题． 10．（5分）（2022•杭州一模）已知函数，则函数F（x）=xf（x）﹣1的零点个数为（ ） A．4B．5C．6D．7考点：函数零点的判定定理；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：压轴题；数形结合；转化思想．分析：求函数F（x）=xf（x）﹣1的零点个数，我们可以转化为求函数y=f（x）与函数y=图象交点的个数，根据函数y=f（x）的解析式，我们在同一坐标系中分别画出两个函数图象，由图象即可求出两个函数的交点个数，即函数F（x）=xf（x）﹣1的零点个数．13\n解答：解：∵，则函数F（x）=xf（x）﹣1的零点个数等于函数y=f（x）与函数y=图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象如下图所示：由图可知函数y=f（x）与函数y=图象共有6个交点故函数F（x）=xf（x）﹣1的零点个数为6个，故选C点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中将求函数零点的问题转化为求两个函数图象交点的问题是解答本题的关键． 二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.请将答案填在答题卷的横线上.11．（4分）（2022•杭州一模）在等比数列{an}中，若a2=1，a5=﹣8则a8= 64 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式或性质即可得出．解答：解：设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q=1，=8，两式相除得q3=8，∴=8×8=64．或利用=a2a8解得．故答案为64．点评：熟练掌握等比数列的通项公式或性质是解题的关键． 12．（4分）（2022•杭州一模）若sinx+cosx=1，则= ±1 ．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由sinx+cosx=1，可求得sin2x=0，从而可求得cos2x，继而可得答案．13\n解答：解：∵sinx+cosx=1，∴（sinx+cosx）2=1+sin2x=1，∴sin2x=0，∴cos2x=±1，∴==±1．故答案为：±1．点评：本题考查二倍角的正弦，考查同角三角函数间的基本关系，求得sin2x=0是关键，属于中档题． 13．（4分）（2022•杭州一模）若正数x，y满足x+y=1，则的最小值为 9 ．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将x+y=1代入所求关系式，利用基本不等式即可求得答案．解答：解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴+=（+）（x+y）=4+1++≥5+2=9（当且仅当x=，y=时取等号）．故答案为：9．点评：本题考查基本不等式，将x+y=1代入所求关系式是关键，属于基础题． 14．（4分）（2022•杭州一模）无穷数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推．记该数列为{an}，若an﹣1=7，an=8，则n= 29 ．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件，判断出数列中的各项特点，判断出数8所在的组，求出第28项为7，之后的8项就是8，从而得出n的值．解答：解：∵一个数列{1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…}，它的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，依此类推，对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，则当n=7，1+2+3+…+n===28，∴a28=7，a29=a30=…=8，若an﹣1=7，an=8，则n=29．故答案为：29．点评：本题考查数列的函数特性．解答关键是利用已知条件，判断出数列具有的函数性质，利用函数性质求出特定项．13\n 15．（4分）（2022•杭州一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=，则直线ax﹣by+c=0被圆x2+y2=9所截得的弦长为 2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果．解答：解：圆心（0，0）到直线的距离d==，再由a2+b2=，可得d=．而圆的半径为3，故弦长为2=2=2，故答案为2．点评：本题主要考查直线被圆截得的弦长的求法，注意点到直线的距离公式的应用，弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，是快速解题的关键，属于中档题． 16．（4分）（2022•杭州一模）若实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=时，目标函数z=2x+y取得最大值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到直线y﹣x=0的下方且在直线x+y﹣7=0的上方，即如图的阴影部分，设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点A（，）时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（，）=2×+=故答案为：13\n点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 17．（4分）（2022•杭州一模）设Q为圆C：x2+y2+6x+8y+21=0上任意一点，抛物线y2=8x的准线为l．若抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+|PQ|的最小值为 ﹣2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题；直线与圆．分析：先根据圆的方程求得圆心坐标和半径，抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，根据根据抛物线的定义可知，P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，根据图象可知当P，Q，F三点共线时，P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．解答：解：圆C：x2+y2+6x+8y+21=0即（x+3）2+（y+4）2=4，表示以C（﹣3，﹣4）为圆心，半径等于2的圆．抛物线y2=8x的准线为l：x=﹣2，焦点为F（2，0），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：|FC|﹣r=﹣2=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想，属于中档题． 三、解答题：本大题有5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．18．（14分）（2022•杭州一模）设f（x）=6cos2x﹣sin2x（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足f（A）=3，B=，求的值．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用倍角公式和两角和差的正弦、余弦公式、三角函数的单调性和周期性即可得出；（Ⅱ）利用三角函数的单调性和余弦定理即可得出．13\n解答：解：（Ⅰ）f（x）===2cos（2x+）+3，当时，f（x）取得最大值为2+3；最小正周期T==π．（Ⅱ）由f（A）=3﹣2得2cos（2A+）+3=3﹣2，∴cos（2A+）=﹣1，又由0＜A＜，得＜2A+＜π+，故2A+=π，解得A=．又B=，∴C==．由余弦定理得=2cosC=0．点评：熟练掌握倍角公式、两角和差的正弦余弦公式、三角函数的单调性、周期性和余弦定理是解题的关键． 19．（14分）（2022•杭州一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（1，λsinA），=（sinA，1+cosA），且∥（Ⅰ）若λ=2，求角A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=sinA，求实数λ的取值范围．考点：余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用向量共线的充要条件即可得出；（Ⅱ）利用正弦、余弦定理及基本不等式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由∥，得2sin2A﹣1﹣cosA=0，化为2cos2A+cosA﹣1=0，解得cosA=或cosA=﹣1（舍去），∴A=．（Ⅱ）∵sinB+sinC=sinA，由正弦定理得b+c=a，由∥，得λsin2A﹣1﹣cosA=0，化为λcos2A+cosA+1﹣λ=0，13\n解得cosA=或cosA=﹣1（舍去）．又cosA===，综上，λ需要满足，解得λ≥．点评：熟练掌握向量共线的充要条件、正弦、余弦定理、基本不等式及不等式的解法是解题的关键． 20．（14分）（2022•杭州一模）设在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=，数列{cn}的前n项和为Sn，若恒成立，求实数t的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的定义及通项公式即可得出；（Ⅱ）利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0）．由题意，得，解得d=q=3．∴an=3n﹣2，．（Ⅱ）∵cn==3bn﹣2=3×2×3n﹣1﹣2=2×3n﹣2．∴Sn=c1+c2+…+cn=2×（31+32+…+3n）﹣2n==3n+1﹣3﹣2n．∴==3n+1．∵恒成立，∴3n+1＜2×3n+t恒成立，即t＞（﹣3n+1）max，n∈N*．由于函数y=﹣3x+1在（0，+∞）上单调递减，∴﹣3n+1≤﹣31+1=﹣2，13\n故t＞﹣2．点评：熟练掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及函数的单调性是解题的关键． 21．（15分）（2022•杭州一模）设函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，（其中a＞0）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当a=4时，给出直线l1：5x+2y=m=0和l2：3x﹣y+n=0，其中m，n为常数，判断直线l1或l2中，是否存在函数f（x）的图象的切线，若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义．专题：导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）把a=1代入，求导数，由导数的正负可得单调区间，进而可得极值；（Ⅱ）把a=4代入可得导数≥，故l1或l2中，不存函数图象的切线，令导数=3，可得n值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=2x﹣3+=，当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．所以当x=1时，f（x）取极小值﹣2．…（7分）（Ⅱ）当a=4时，f′（x）=2x﹣6+，∵x＞0，∴f′（x）=2x+﹣6≥，故l1或l2中，不存函数图象的切线．由2x+﹣6=3得x=，或x=4，当x=时，可得n=，当x=4时，可得n=4ln4﹣20．（15分）点评：本题考查导数的几何意义与函数的极值，属中档题． 22．（15分）（2022•杭州一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和⊙M：x2+y2+8x﹣12=0，过抛物线C上一点P（x0，y0）（y0≥0）作两条直线与⊙M相切与A、B两点，圆心M到抛物线准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当P点坐标为（2，2）时，求直线AB的方程；（Ⅲ）设切线PA与PB的斜率分别为k1，k2，且k1•k2=，求点P（x0，y0）的坐标．13\n考点：圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义即可得出；（Ⅱ）利用两圆的根轴即可得出；（Ⅲ）利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由⊙M：x2+y2﹣8x+12=0，配方得（x﹣4）2+y2=4，∴圆心M（4，0），半径r=2．由题意知：，解得p=1，∴抛物线C的方程为y2=2x．（Ⅱ）设P（2，2），∵P，A，B，M四点共圆，∴此圆的方程为：（x﹣4）（x﹣2）+（y﹣2）（y﹣0）=0，①又⊙M：x2﹣8x+y2+12=0，②又由①﹣②得直线AB的方程：x﹣y﹣2=0．（Ⅲ）设过P的直线l方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由于⊙M与直线l相切，得到，整理得到：，∴，即，∴x0=2或10，经检验得点P坐标为．点评：熟练掌握抛物线的定义、两圆的根轴的性质、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式是解题的关键． 13
