十二、计数原理与古典概率一、选择题1．【2022届南宁市高三摸底】2x-1x5的展开式中x3项的系数为（）A.80B.-80C.-40D.48【答案】B【解析】由题意可得Tr+1=C5r(2x)5-r(-1x)r，令r=1,T4=-C5124x3,所以x3的系数为-80.选B.2．【2022届广东省德庆县香山中学高三第一次模拟】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有()种.A.36B.30C.12D.6【答案】A本题选择A选项.3．【2022届北京西城161高三上期中】如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，在一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，小明从街道的E处出发到F处最短路程有条，再从F处到G-12-\n处最短路程有条，故小明从老年公寓可以选择的最短路径条数为条.选B.4．【2022届云南省名校月考一】的展开式中的系数为（）A.4B.-4C.6D.-6【答案】B5．【2022届重庆市巴蜀中学高三9月月考】将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（）A.360种B.210种C.60种D.30种【答案】C【解析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路；所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次；因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起来,也就是2次向左和2次向前全排列A44，因为2次向左是没有顺序的,所以还要除以A22，同理2次向前是没有顺序的,再除以A22，接下来,就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排三个元素,也就是C53，则共有A44A22A22C53=60种；本题选择C选项.6．【2022届江西省南昌市高三上摸底】-12-\n某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A.种B.种C.种D.种【答案】A【解析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；则符合题意要求的编排方法有种；故选A．7．【2022届广东省德庆县香山中学高三第一次模拟】在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中中山大学2名，暨南大学2名，华南师范大学1名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A.36B.24C.22D.20【答案】B本题选择B选项.8．若，则()A.-1B.1C.2D.-2-12-\n【答案】A【解析】，令，则，故选A.9．【2022届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】现有2个正方体，3个三棱柱，4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为（）A.110B.25C.12D.710【答案】C【解析】由题意知共有10个几何体，其中旋转体为球和圆台，共5个，根据古典概型，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率P=510=12.10．【2022届云南省红河州高三检测】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2；从以上五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为（）A.B.C.D.【答案】C11．【2022年浙江省源清中学9月月考】把7个字符1，1，1，A，A，，排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有（）A.12种B.30种C.96种D.144种【答案】C【解析】先排列A,A,α,β,若A,B不相邻,有种,若A,B相邻,有种，共有-12-\n6+6=12种，从所形成了5个空中选3个插入1,1,1,共有，若A,A相邻时,从所形成了4个空中选3个插入1,1,1,共有，故三个“1”两两不相邻，且两个“A“也不相邻，则这样的排法共有120−24=96种，故选：C.12．【2022年浙江卷】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，则（）A.<，<B.<，>C.>，<D.>，>【答案】A【解析】∵，∴，∵，∴，故选A．二、填空题13．【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若3x-1xn的展开式各项系数之和为64，则n=___；展开式中的常数项为___．【答案】6-54014．【2022年浙江卷】已知多项式2=，则=________________，=________.【答案】164-12-\n【解析】由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，取，可得．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．15．【2022年浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟二】省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．【答案】42;16．【2022年浙江省源清中学9月月考】已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为，则的概率是_______；随机变量期望是_______.【答案】1【解析】根据题意知ξ=0，1，2，；；-12-\n；所以.故答案为：.三、解答题17．现有道数学题，其中道选择题，道填空题，小明从中任取道题，求：（1）所取的道题都是选择题的概率；（2）所取的道题不是同一种题型的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将题目进行编号，列举出所有从中任取道题的所有基本事件，找出所取的两道题都是甲类题的基本事件，利用古典概型计算即可；（2）找出所取的两道题不是同一类题的基本事件，利用古典概型计算结果.试题解析：设4道选择题编号为,2道填空题编号为,从中任取2题有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）共15种(1)其中两道题都是甲类题的基本事件共有种，由古典概型概率公式可得两道题都是甲类题的概率为P=.(2)其中两道题不是同一类题的基本事件共有种，由古典概型概率公式可得两道题不是同一类题的概率为P=.18．某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的．（1）求恰有2人选修物理的概率；（2）求学生选修科目个数的分布列及期望．【答案】（1）（2）【解析】-12-\n试题解析：（1）解：这是等可能性事件的概率计算问题.解法一：所有可能的选修方式有34种，恰有2人选修物理的方式种，从而恰有2人选修物理的概率为解法二：设对每位学生选修为一次试验，这是4次独立重复试验.记“选修物理”为事件A，则从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人选修物理的概率为（2）ξ的所有可能值为1，2，3综上知，ξ有分布列从而有19．甲、乙同学参加学校“一站到底”闯关活动，活动规则：①依次闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10分，闯第二关得20分，闯第三关得30分，一关都没过则没有得分．已知甲每次闯关成功的概率为-12-\n，乙每次闯关成功的概率为． （Ⅰ）设乙的得分总数为，求得分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多30分的概率．【答案】（Ⅰ）分布列见解析；（Ⅱ）甲恰好比乙多30分的概率为试题解析：解：（Ⅰ）的取值为0,10,30,60．，，，．则的分布如下表：0103060（Ⅱ）设甲恰好比乙多30分为事件，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件，甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件，则，为互斥事件．．所以，甲恰好比乙多30分的概率为．-12-\n20．【浙江卷】设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．【答案】（1）ξ23456P（2）3：2：1【解析】（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6，P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；P（ξ=5）==；P（ξ=6）==．故所求ξ的分布列为ξ23456P（2）由题意知η的分布列为η123PEη==Dη=（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2=．得，解得a=3c，b=2c，故a：b：c=3：2：1．21．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5-12-\n局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．【答案】(1)；(2).试题解析：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)＝2＋×2＋××2＝.＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.故X的分布列为2345-12-\nE(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.22．(14分)某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若仅有A项技术指标达标的概率为，A、B两项技术指标都不达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．（1）求一个零件经过检测为合格品的概率？（2）若任意抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）【解析】（1）设、两项技术指标达标的概率分别为、由题意，得解得，∴一个零件经过检测为合格品的概率为7分（2）依题意知，分布列为，其中，所以14分-12-
