§10.1 计数原理与排列、组合专题检测1.(2020安徽马鞍山二模,6)为抗击新冠病毒,社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩,现需将这6箱口罩分配给4家医院,每家医院至少1箱,则不同的分法共有( )A.10种 B.40种 C.80种 D.240种答案 A 根据题意,将6箱相同规格的医用外科口罩分成四份,每一份依次对应一家医院即可.将6箱相同规格的医用外科口罩排成一排,其中间有5个空位,在5个空位中任选3个,插入挡板,即可将其分为四份,则有=10种分组方法,故选A.名师点睛 根据题意,原问题转化为“将6箱相同规格的医用外科口罩分成四份,每一份依次对应一家医院”的问题,由挡板法分析可得答案.2.(2020河南郑州二模,6)2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日,将2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为( )A.96 B.84 C.120 D.360答案 B 根据题意,将2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,“10”是一个整体,有=120种情况,其中数字“0”在首位的情况有=24种,数字“1”和“0”相邻且“1”在“0”之前的排法有=24种,则可以产生120-24-24+12=84个不同的6位数,故选B.思路分析 根据题意,由排除法分析:先计算将2,0,1,9,10按照任意次序排成一行的排法数目,排除其中“0”在首位和数字“1”和“0”相邻且“1”在“0”之前中重复的情况数目,分析可得答案.3.(2017江西新余二模,9)2017年3月25日,中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A.34种 B.48种 C.96种 D.144种答案 C 根据题意,分3步进行分析:①队长主动要求排在排头或排尾,则队长有2种站法;②甲、乙两人必须相邻,将2人看成一个整体,考虑2人的左右顺序,有=2种情况;③将甲乙整体与其余3人进行全排列,有=24种情况,则满足要求的排法有2×2×24=96种.故选C.4.(2020重庆巴蜀中学高三适应性月考一,8)6个高矮互不相同的人站成两排,后排每个人都高于站在他前面的同学的概率为( )A. B. C. D.答案 C 后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为·=90,基本事件的总数是,所以P==,故选C.解题关键 本题考查了求古典概型的概率,以及排列和组合,解决本题的关键是将满足条件的排列看成6个人均分成3组,然后3组再排列.5.(2020四川泸州模拟,7)金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节,“……洪七公道:肉只五种,但猪羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有几般变化,我可算不出了”.现有五种不同的肉,任何两种(含两种)以上的肉混合后的滋味都不一样,则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为( )A.20 B.24 C.25 D.26
答案 D 现有五种不同的肉,若两种不同的肉混合后,有=10种不同的滋味;若三种不同的肉混合后,有=10种不同的滋味;若四种不同的肉混合后,有=5种不同的滋味;若五种不同的肉混合后,有1种不同的滋味,则共有10+10+5+1=26种不同的滋味,故选D.解题关键 根据题意,按混合的肉的种数不同分4种情况讨论,求出每种情况下不同的滋味的数目是解决本题的关键.6.(2020河南第一次联考,10)2019年7月1日迎来了我国建党98周年,6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名当年在同一个班,他们站成一排拍照留念时,要求同班的3名老党员站在一起,且满足条件的每种排法都要拍一张照片,若将照片洗出来,每张照片0.5元(不含过塑费),且有一半的照片需要过塑,每张过塑费为0.75元.若将这些照片平均分给每名老党员(过塑的照片也要平均分),则每名老党员需要支付的照片费为( )A.20.5元 B.21元 C.21.5元 D.22元答案 B 由排列组合中的相邻问题捆绑法可得,照片的总数为=144,则每名老党员需要支付的照片费为=21元,故选B.7.(2019四川成都第二次适应性考试,11)用数字0,2,4,7,8,9组成没有重复数字的六位数,其中大于420789的正整数个数为( )A.479 B.480 C.455 D.454答案 C 分情况讨论.第一种,首位从7、8、9中选一个数,其他数位任意排列,有个,第二种,首位是4,第二位从7、8、9中选一个数,其他数位任意排列,有个,第三种,前两位是42,第三位从7、8、9中选一个数,其他数位任意排列,有个,第四种,前三位是420,第四位从8、9中选一个数,其他数位任意排列,有个,第五种,只有420798,所以共有++++1=360+72+18+4+1=455个符合要求的正整数.8.(2020广东广州天河一模,7)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:3可表示为“≡”,26可表示为“=⊥”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1~9这9个数字表示两位数的个数为( )A.13 B.14 C.15 D.16答案 D 根据题意,现有6根算筹,可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、3,3、7,7、7.数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中,每组可以表示2个两位数,则可以表示2×7=14个两位数;数字组合3、3,7、7中,每组可以表示1个两位数,则可以表示2×1=2个两位数.则一共可以表示14+2=16个两位数.故选D.9.(2019江西南昌模拟,8)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品,有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的.现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品,每个仓库放2种,那么安全存放的不同方法种数为( )A.12 B.24 C.36 D.48答案 D 如图所示的三棱锥中,设6条棱为a,b,c,d,e,f,分析可得a与d,b与f,c与e不能分到同一组,分2步进行分析:①将6种化工产品分成3组,其中a与d,b与f,c与e不能分到同一组,有-3×2-1=8种分组方法;②将分好的三组全排列,对应3个仓库,有=6种情况,则不同的安全存放的种数有8×6=48种,故选D.
名师点拨 本题考查排列、组合的应用,注意先按照题意进行分组,再进行排列.10.(2020河南八市重点高中联盟9月“领军考试”,15)甲、乙、丙、丁四名同学申报3所不同的985高校的自主招生,要求每名同学只能申报一所学校,每所学校必须有同学申报,甲、乙或甲、丙均不能申报同一所学校,则不同的申报方案有 种. 答案 24解析 根据题意,必定有两个人报一所学校,有4种可能:甲丁,丙丁,乙丁,乙丙,所以总共有×4=24种申报方案.11.(2019山西太原模拟,14)如图所示,玩具计数算盘的三档上各有7个算珠,现将每档算珠分为左、右两部分,左侧的每个算珠表示数2,右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠),记上、中、下三档的数字和分别为a,b,c.例如,图中上档的数字和a=9.若a,b,c成等差数列,则不同的分珠计数法有 种. 答案 32解析 根据题意知,a,b,c的取值范围都是区间[7,14]中的8个整数,故公差d的范围是区间[-3,3]中的整数.①当公差d=0时,有=8种;②当公差d=±1时,b不取7和14,有2×=12种;③当公差d=±2时,b不取7,8,13,14,有2×=8种;④当公差d=±3时,b只能取10或11,有2×=4种.综上,共有8+12+8+4=32种不同的分珠计数法.思路分析 a,b,c的取值范围都是[7,14]内的整数,可以根据公差d的情况进行讨论.解后反思 本题考查排列、组合的应用,要表示的有3项,做题时容易找不到切入点,本题的切入点是考虑等差中项的选取方法.
