专题能力训练10 数列求和及其综合应用(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.已知等比数列{an}的公比q=2,且2a4,a6,48成等差数列,则{an}的前8项和为( ) A.127B.255C.511D.10232.(2022浙江东阳5月模拟考试,文7)已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2015=( )A.22015-1B.21009-3C.3×21007-3D.21008-33.(2022浙江第一次五校联考,文9)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,对任意实数x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是( )A.B.C.D.4.各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且3Sn=anan+1,则a2k=( )A.B.C.D.5.(2022浙江绍兴期末)已知数列{an}的通项公式an=-n,当a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+anan+1an+2取得最大值时,n的值为( )A.7B.8C.9D.106.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f=f(x),f(-2)=-3,若数列{an}的前n项和Sn满足+1,则f(a5)+f(a6)=( )A.-3B.-2C.2D.37.对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:x123456789y745813526数列{xn}满足x1=2,且对任意n∈N*,点(xn,xn+1)都在函数y=f(x)的图象上,则x1+x2+x3+x4+…+x2012+x2013的值为( )A.9394B.9380C.9396D.9400二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(2022浙江宁波鄞州5月模拟,文10)已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=1,a2=3,记Sn=a1+a2+…+an.则a3= ,S2015= . 9.(2022浙江台州质量评估)在等比数列{an}中,an>0,a1<a8,a8=1,若集合A=+…+,则集合A中元素的个数为 . 10.(2022浙江嵊州第二次教学质量调查测试,文14)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为正整数d.若=1,则d的值为 . 11.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn= . 6\n三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)(2022福建,文17)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.13.(本小题满分15分)(2022浙江第一次五校联考,文29)已知数列{an}的前n项和Sn满足(t-1)Sn=t(an-2)(t为常数,t≠0且t≠1).(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=Sn-1,且数列{bn}为等比数列.①求t的值;②若cn=(-an)·log3(-bn),求数列{cn}的前n和Tn.14.(本小题满分16分)(2022浙江重点中学协作体第二次适应性测试,文20)已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=t(Sn-an+1)(t为常数,且t≠0,t≠1).(1)设bn=+Sn·an,若数列{bn}为等比数列,求t的值;(2)在满足条件(1)的情形下,设cn=4an+1,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式≥2n-7对任意的n∈N*恒成立,求实数k的取值范围.6\n参考答案专题能力训练10 数列求和及其综合应用1.B 解析:∵2a4,a6,48成等差数列,∴2a6=2a4+48,∴2a1q5=2a1q3+48.又q=2,∴a1=1,∴S8==255.2.B 解析:依题意a2·a1=2.又a1=1,所以a2=2,由an+1·an=2n(n∈N*),得an+2·an+1=2n+1,两式相除得=2,所以数列{a2n-1}成首项a1=1,公比为2的等比数列,数列{a2n}成首项a2=2,公比为2的等比数列,又S2015包含了1008个奇数项和1007个偶数项,所以S2015=a1+a2+…+a2015=(a1+a3+…+a2015)+(a2+a4+…+a2014)==21009-3.故选B.3.C 解析:∵a1=,an=f(n),∴f(1)=.又∵f(x)·f(y)=f(x+y),令y=1,则f(x+1)=f(1)·f(x)=f(x),∴an+1=an,∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,∴an=,∴Sn==1-.4.C 解析:当n=1时,3S1=a1a2,3a1=a1a2,∴a2=3,当n≥2时,由3Sn=anan+1,可得3Sn-1=an-1an,两式相减得:3an=an(an+1-an-1),又∵an≠0,∴an+1-an-1=3,∴{a2n}是一个以3为首项,3为公差的等差数列,∴a2k=a2+a4+a6+…+a2n=3n+×3=,选C.5.C 解析:由an=-n≥0,得n≤9.25,所以数列{an}的前9项都是正数,从第10项起,全部是负数.所以当n=8时,a8a9a10==-<0,当n=9时,a9a10a11=>0,当n≥10时,anan+1an+2<0,因为a8a9a10+a9a10a11>0,所以当a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+anan+1an+2取得最大值时,n的值为9,故选C.6\n6.D 解析:因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).因为f=f(x),所以f=-f(-x),所以f(3+x)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数.因为+1,即Sn=2an+n①,所以Sn-1=2an-1+n-1(n≥2)②,①-②得an=2an-1-1(n≥2),即an-1=2(an-1-1)(n≥2).又+1,所以a1=-1.所以数列{an-1}是以2为公比的等比数列,首项为a1-1=-2.所以an-1=-2×2n-1=-2n,an=-2n+1,所以a5=-25+1=-31,a6=-26+1=-63,所以f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(2)+f(0)=f(2)=-f(-2)=3,故选D.7.A 解析:由题意得,x1=2,x2=4,x3=8,x4=2,…数列的周期为3,故x1+x2+x3+x4+…+x2012+x2013=671(x1+x2+x3)=671×14=9394.8.2 2 解析:因为a1=1,a2=3,所以a3=a2-a1=2,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-2,a7=a6-a5=1,所以数列{an}是以6为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,所以S2015=a1+a2+…+a2015=a1+a2+a3+a4+a5=2.9.15 解析:设数列{an}的公比为q,依题意,q>1,故a1<a2<…<a8=1<a9<a10<…,故<0,<0,…,<0,=0.因为a1a15==1,所以a1=,即=0,同理=0,故+…+=0,故集合A中共有15个元素.10.1 解析:因为数列{an}是等差数列,=1,所以(3a2)2+(a2+d)2=1,整理得10+2a2d+d2-1=0,由Δ=(2d)2-40(d2-1)≥0得d2≤,因为d∈N*,所以d=1.11.2n+1-2 解析:∵an+1-an=2n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n.∴Sn==2n+1-2.12.解:(1)设等差数列{an}的公差为d.6\n由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)==(211-2)+55=211+53=2101.13.解:(1)由(t-1)Sn=t(an-2),及(t-1)Sn+1=t(an+1-2),作差得an+1=tan,即数列{an}成等比数列,an=a1tn-1,∵a1=2t,故an=2tn.(2)①∵数列{bn}为等比数列,∴=b1b3,代入得(2t+2t2-1)2=(2t-1)(2t+2t2+2t3-1),整理得6t3=2t2,解得t=或t=0(舍),故t=.当t=时,bn=Sn-1=-,显然数列{bn}为等比数列.②cn=(-an)·log3(-bn)=,∴Tn=+…+,则Tn=+…+,作差得Tn=+…+=1-=1-,故Tn=.14.解:当n=1时,S1=t(S1-a1+1),得a1=t.当n≥2时,由Sn=t(Sn-an+1),即(1-t)Sn=-tan+t,①得(1-t)Sn-1=-tan-1+t,②两式相减得(1-t)an=-tan+tan-1,即an=tan-1,∴=t(n≥2),∴{an}是等比数列,且公比是t,∴an=tn.(1)bn=(tn)2+·tn,即bn=,若数列{bn}为等比数列,则有=b1·b3,而b1=2t2,b2=t3(2t+1),b3=t4(2t2+t+1),故[t3(2t+1)]2=(2t2)·t4(2t2+t+1),解得t=,再将t=代入bn,得bn=,由,知{bn}为等比数列,∴t=.(2)由t=,知an=,∴cn=4+1,6\n∴Tn=4×+n=4+n-,由不等式≥2n-7恒成立,得3k≥恒成立,设dn=,由dn+1-dn=,∴当n≤4时,dn+1>dn,当n>4时,dn+1<dn,而d4=,d5=,∴d4<d5,∴3k≥,∴k≥.6
