专题能力训练8 平面向量及其综合应用(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.(2022四川,文2)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=( ) A.2B.3C.4D.62.(2022浙江宁波鄞州5月模拟,文2)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-3,2),则向量方向上的投影为( )A.-B.C.-D.3.(2022浙江温州三适,文6)已知向量|a|=|b|=|a-b|=1,则|2b-a|=( )A.2B.C.3D.24.(2022浙江宁波期末考试,文8)已知a,b满足|a|=5,|b|≤1,且|a-4b|≤,则a·b的最小值为( )A.B.-5C.D.-5.已知P是△ABC所在平面内一点,若,则△PBC与△ABC的面积的比为( )A.B.C.D.6.已知a,b,c满足|a|=|b|=,a·b=,|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( )A.4B.+1C.3+D.27.(2022浙江湖州第三次教学质量调测,文8)已知向量a⊥b,|a-b|=2,定义:cλ=λa+(1-λ)b,其中0≤λ≤1.若cλ·,则|cλ|的最大值为( )A.B.C.1D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(2022浙江嘉兴教学测试(二),文10)若向量a与b满足|a|=,|b|=2,(a-b)⊥a,则向量a与b的夹角等于 ;|a+b|= . 9.(2022安徽,文15)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号) ①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.10.(2022浙江宁波鄞州5月模拟,文15)在△ABC中,AC=3,∠A=,点D满足=2,且AD=,则BC的长为 . 11.(2022浙江第一次五校联考,文15)设a1,a2,…,an,…是按先后顺序排列的一列向量,若a1=(-2014,13),且an-an-1=(1,1),则其中模最小的一个向量的序号n= . 三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)如图,已知在△OCB中,点C是以A为中点的点B的对称点,D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.6\n(1)用a和b表示向量;(2)若=λ,求实数λ的值.13.(本小题满分15分)已知向量m=(1,3cosα),n=(1,4tanα),α∈,且m·n=5.(1)求|m+n|;(2)设向量m与n的夹角为β,求tan(α+β)的值.14.(本小题满分16分)(2022陕西,文17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.参考答案6\n专题能力训练8 平面向量及其综合应用1.B 解析:由a=(2,4),b=(x,6)共线,可得4x=12,即x=3.2.C 解析:由题意可知=(2,1),=(-2,1),所以向量方向上的投影为=-.故选C.3.B 解析:因为|a|=|b|=|a-b|=1,所以|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=1.所以a·b=.所以|2b-a|2=4|b|2-4a·b+|a|2=4-4×+1=3.所以|2b-a|=.故选B.4.A 解析:因为|a-4b|≤,所以|a|-4|b|≤,即|b|≥.所以|b|2≥.因为|a-4b|2=(a-4b)2=a2-8a·b+16b2=|a|2-8a·b+16|b|2=25-8a·b+16|b|2≤21,所以a·b≥+2|b|2≥.所以a·b的最小值是.故选A.5.A 解析:如图,以B为原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,设A(xA,yA),P(xP,yP),C(xC,0),则,即(xP-xA,yP-yA)=(xC,0)-(xA,yA),所以xP-xA=xC-xA,yP-yA=0-yA,yP=yA.故.6.A 解析:∵|a|=|b|=,a·b=,∴a与b的夹角为60°.设=a,=b,=c,建立如图所示的坐标系,6\n则a=(,0),b=.设c=(x,y),则c-a-b=.又|c-a-b|=1,∴=1,即点C的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.∵|c|=表示点(x,y)到原点(0,0)的距离,∴|c|max=+1=4.故选A.7.C 解析:由题意可设a=(a,0),b=(0,b),则由|a-b|=2可得a2+b2=4,由cλ·可得a2+b2=⇒λa2+(1-λ)b2=1.又|cλ|2=λ2a2+(1-λ)2b2,且λa2+(1-λ)b2-λ2a2-(1-λ)2b2=λ(1-λ)·(a2+b2)≥0,所以|cλ|2=λ2a2+(1-λ)2b2≤1.故选C.8. 解析:∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=0.∴a2=a·b=2.∴cos<a,b>=.∴<a,b>=,|a+b|=.9.①④⑤ 解析:在正三角形ABC中,=2a,||=2,所以|a|=1,①正确;由=2a+b,得=b,因此④正确,②不正确;由的夹角为120°,知a与b的夹角为120°,所以③不正确;因为=b,所以(4a+b)·=4a·b+b2=4×1×2×+22=0,所以(4a+b)⊥.故⑤正确.10.3 解析:因为)=,所以|2+|·||cos45°+|2,即13=|2+|·3··32,解得AB=3.又由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos45°=9,所以BC=3.11.1001或1002 解析:设an=(xn,yn),∵a1=(-2014,13),且an-an-1=(1,1),∴数列{xn}是首项为-2014,公差为1的等差数列,数列{yn}是首项为13,公差为1的等差数列.∴xn=n-2015,yn=n+12.∴|an|2=(n-2015)2+(n+12)2=2n2-4006n+20152+122.∴可知当n=1001或1002时,|an|取到最小值.6\n12.解:(1)由题意知,A是BC的中点,且,由平行四边形法则,得=2.故=2=2a-b,=(2a-b)-b=2a-b.(2)如题图,.又∵=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,=2a-b,∴,解得λ=.13.解:(1)由题意知m·n=1+12cosαtanα=1+12sinα=5,即sinα=.因为α∈,所以cosα=,tanα=.所以m=(1,2),n=(1,),m+n=(2,3).所以|m+n|=.(2)由(1)知m=(1,2),n=(1,),则cosβ=,sinβ=,所以tanβ=.所以tan(α+β)=.14.解:(1)因为m∥n,所以asinB-bcosA=0.由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0.又sinB≠0,从而tanA=.由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,而a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0.因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsinA=.解法二:由正弦定理,得,从而sinB=.又由a>b,知A>B,所以cosB=.故sinC=sin(A+B)=sin=sinBcos+cosBsin.6\n所以△ABC的面积为absinC=.6
