专题能力训练5 函数与方程、函数模型的应用(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.已知a是函数f(x)=2x-lox的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足( ) A.f(x0)=0B.f(x0)<0C.f(x0)>0D.f(x0)的符号不确定2.(2022浙江绍兴质检,文2)某快递公司快递一件物品的收费规定:物品不超过5千克,每件收费12元,超过5千克且不超过10千克,则超出部分每千克加收1.2元;……现某人快递一件8千克物品需要的费用为( )A.9.6元B.12元C.15.6元D.21.6元3.(2022浙江嘉兴测试(一))已知函数f(x)=-cosx,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )A.1B.2C.3D.44.(2022浙江台州期末质量评估)设函数f(x)=ex-1+4x-4,g(x)=lnx-.若f(x1)=g(x2)=0,则( )A.0<g(x1)<f(x2)B.g(x1)<0<f(x2)C.f(x2)<0<g(x1)D.f(x2)<g(x1)<05.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-bf(x)+c=0(b,c∈R)有8个不同的实数根,则b+c的取值范围为( )A.(-∞,3)B.(0,3]C.[0,3]D.(0,3)6.已知函数f(x)=(k∈R),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是( )A.k≤2B.-1<k<0C.-2≤k<-1D.k≤-27.(2022浙江第一次五校联考,理10)已知函数f(x)=则关于x的方程f=a的实根个数不可能为( )A.5个B.6个C.7个D.8个二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.若函数f(x)=log2(x+1)-1的零点是抛物线x=ay2的焦点的横坐标,则a= . 9.已知函数f(x)=若f(0)=-2,f(-1)=1,则函数g(x)=f(x)+x的零点个数为 . 10.某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y(km)与刹车时的速度x(km/h)的关系可以用y=ax2来描述,已知这种型号的汽车在速度为60km/h时,紧急刹车后滑行的距离为b(km).一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b(km),则这辆车的行驶速度为 km/h. 11.(2022浙江衢州五校联考,文17)已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,那么在区间[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,且k≠-1)有4个不同的根,则k的取值范围是 . 三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)7\n12.(本小题满分14分)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每一小时可获得的利润是100元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.13.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x2+(x-1)|x-a|.(1)若a=-1,解方程f(x)=1.(2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.(3)是否存在实数a,使不等式f(x)≥2x-3对一切实数x∈R恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.14.(本小题满分16分)已知a∈R,函数f(x)=x2-a|x-1|.(1)当a=1时,求函数f(x)的最小值;(2)讨论y=f(x)的图象与y=|x-a|的图象的公共点个数.7\n参考答案专题能力训练5 函数与方程、函数模型的应用1.B 解析:分别作出y=2x与y=lox的图象如图,当0<x0<a时,y=2x的图象在y=lox图象的下方,所以f(x0)<0.故选B.2.C 解析:由已知该快递应分段计费,其中5千克计费12元,超出的3千克计费3×1.2=3.6(元),所以收费15.6元,故选C.3.C 解析:函数f(x)=-cosx的零点个数为-cosx=0⇒=cosx的根的个数,即函数h(x)=与g(x)=cosx的图象的交点个数.如图所示,在区间[0,2π]上交点个数为3,故选C.4.B 解析:利用数形结合求解.由f(x1)=0得x1是函数f(x)=ex-1+4x-4的零点.又f(0)=e-1-4<0,f(1)=1>0,所以x1∈(0,1),g(x1)=lnx1-<0.同理g(1)=-1<0,g(2)=ln2-=ln-ln>0,所以x2∈(1,2),则f(x2)=+4(x2-1)>0,所以g(x1)<0<f(x2),故选B.5.D 解析:令f(x)=m,方程f2(x)-bf(x)+c=0有8个不同的实根,等价于方程m2-bm+c=0在(0,1]上有2个不等的实根,即画出可行域如图,结合图形可知0<b+c<3,故选D.6.D 解析:由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k≥0,所以k≤0,作出函数y=|f(x)|的图象,7\n要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2,选D.7.A 解析:如下图所示,画出函数f(x)以及g(x)=x+-2的图象,从而可知,当a<0时,方程f(x)=a有一正根,∴方程f=a有两个根,当a=0时,方程f(x)=a有一正根,一个根为0,∴f=a有三个根;当0<a<1时,方程f(x)=a有两个正根,一个大于-4的负根,∴f=a有四个根;当a=1时,方程f(x)=a有一个负根-4,三个正根,∴f=a有七个根;当1<a<2时,方程f(x)=a有三个正根,一个小于-4的负根,∴f=a有八个根;当a=2时,方程f(x)=a有两个正根,一个小于-4的负根,∴f=a有六个根;当a>2时,方程f(x)=a有一个正根一个小于-4的负根,∴f=a有四个根,∴f=a根的个数可能为2,3,4,6,7,8,故选A.7\n8. 解析:令f(x)=log2(x+1)-1=0,得函数f(x)的零点为x=1,于是抛物线x=ay2的焦点的坐标是(1,0),因为x=ay2可化为y2=x,所以解得a=.9.3 解析:依题意得由此解得b=-4,c=-2.由g(x)=0得f(x)+x=0,该方程等价于①或②解①得x=2,解②得x=-1或x=-2.因此,函数g(x)=f(x)+x的零点个数为3.10.60 解析:由题意,得a×602=b,解得a=,所以y=x2,因为y=3b,所以x2=3b,解得x=-60(舍去)或x=60,所以这辆车的行驶速度是60km/h.11. 解析:令y=kx+k+1,则有y-1=k(x+1),即直线y=kx+k+1恒过M(-1,1).根据题意,如图,可知当直线y=kx+k+1介于直线MA与MB之间时,y=f(x)与y=kx+k+1有4个不同的交点.又因为=-,所以-<k<0.12.解:(1)生产该产品2小时的利润为100×2=200.由题意,200≥3000,解得x≤-或x≥3.又1≤x≤10,所以3≤x≤10.(2)生产900千克该产品,所用的时间是小时,获得利润为100=90000,1≤x≤10.记f(x)=-+5,1≤x≤10,则f(x)=-3+5,当且仅当x=6时取到最大值.7\n最大利润为90000×=457500元.因此甲厂应以6千克/时的速度生产,可获得最大利润为457500元.13.解:(1)当a=-1时,f(x)=x2+(x-1)|x+1|,故有f(x)=当x≥-1时,由f(x)=1,有2x2-1=1,解得x=1或x=-1;当x<-1时,f(x)=1恒成立,∴方程f(x)=1的解集为{x|x≤-1,或x=1}.(2)f(x)=若f(x)在R上单调递增,则有解得a≥.∴当a≥时,f(x)在R上单调递增.(3)设g(x)=f(x)-(2x-3),则g(x)=不等式f(x)≥2x-3对一切实数x∈R恒成立,等价于不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立.①若a>1,则1-a<0,即<0,取x0=,此时x0∈(-∞,a),g(x0)=g=(a-1)·-a+3=1-a<0,即对任意的a>1,总能找到x0=,使得g(x0)<0,∴不存在a>1,使得g(x)≥0恒成立.②若a=1,g(x)=g(x)的值域为[2,+∞),所以g(x)≥0恒成立.③若a<1,当x∈(-∞,a)时,g(x)单调递减,其值域为(a2-2a+3,+∞),由于a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,所以g(x)≥0成立.当x∈[a,+∞)时,由a<1,知a<,g(x)在x=处取最小值,令g=a+3-≥0,得-3≤a≤5.又a<1,所以-3≤a<1.综上,a∈[-3,1].14.解:(1)f(x)=故f(x)min=f=-.(2)设g(x)=|x-a|,h(x)=f(x)-g(x)=x2-a|x-1|-|x-a|,①当a>1时,h(x)=7\n当x≥a时,h(a)=a>0,对称轴x=<a,无零点.当1≤x<a时,x1=0(舍去),x2=a-1,所以(ⅰ)当a≥2时,一个零点;(ⅱ)当1<a<2时,无零点.当x<1时,Δ=a2+10a+1>0,对称轴x=<1,h(1)=2-a,所以(ⅰ)当a≥2时,一个零点;(ⅱ)当1<a<2时,两个零点.综上所述,当a>1时,h(x)有两个零点,即y=f(x)的图象与y=g(x)=|x-a|的图象的公共点有2个.②当a=1时,x=-1±,即y=f(x)的图象与y=g(x)=|x-a|的图象的公共点有2个.③当a<1时,h(x)=当x≥1时,对称轴x=<1,h(1)=a,所以①当a≤0时,一个零点;②当0<a<1时,无零点.当a≤x<1时,x1=0(舍去),x2=1-a,所以①当a≤时,一个零点;②当<a<1时,无零点.当x<a时,Δ=a2+10a+1,对称轴x=-,h(a)=a(2a-1),所以①当a≤-时,对称轴x=-≥a,h(a)=a(2a-1)>0,无零点;②-<a<-5+2时,Δ=a2+10a+1<0,无零点;③a=-5+2时,x=2-<a=-5+2,一个零点;④-5+2<a<0或<a<1时,Δ=a2+10a+1>0,对称轴x=-<a,h(a)=a(2a-1)>0,两个零点;⑤0≤a≤时,h(a)=a(2a-1)≤0,一个零点.综上①a<-5+2或a>0时,函数y=f(x)与y=g(x)的图象的公共点有2个;②a=-5+2或a=0时,函数y=f(x)与y=g(x)的图象的公共点有3个;③-5+2<a<0时,函数y=f(x)与y=g(x)的图象的公共点有4个.7
