第2讲 函数与方程及函数的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．“a>3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 由于“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”⇔f(－1)f(2)<0⇔(－a＋3)(2a＋3)<0⇔a<－或a>3，则“a>3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的充分不必要条件．答案 A2．函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )．A．3B．2C．1D．0解析 由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx图象的下方，故函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．答案 B3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )．A.，0B．－2,0C.D．0解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.答案 D4．(2022·北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )．7\nA．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析 汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A显然不对；B应是甲车耗油最少；C甲车以80千米/时的速度行驶10km，消耗1升汽油，故D正确．答案 D5．设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)( )．A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点解析 法一 因为f＝·－ln＝＋1>0，f(1)＝－ln1＝>0，f(e)＝－lne＝－1<0，∴f·f(1)>0，f(1)·f(e)<0，故y＝f(x)在区间内无零点(f(x)在内根据其导函数判断可知单调递减)，在区间(1，e)内有零点．法二 在同一坐标系中分别画出y＝x与y＝lnx的图象，如图所示．7\n由图象知零点存在区间(1，e)内．答案 D6．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )．A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析 由于a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.答案 A7．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时f(x)＝1－x2.函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点的个数为( )．A．7B．8C．9D．10解析 由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，求h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点，即求f(x)＝g(x)在区间[－5,4]上图象交点的个数．画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，由图可知两图象在[－5,4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.答案 A二、填空题8．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40cm、60cm7\n，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm2.解析 设直角边为40cm和60cm上的矩形边长分别为xcm、ycm，则＝，解得y＝60－x.矩形的面积S＝xy＝x＝－(x－20)2＋600，当x＝20时矩形的面积最大，此时S＝600.答案 6009．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则[x0]＝________.解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且易判断函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝lne－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2.答案 210．(2022·四川卷)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．解析 由题意∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3·eb＝×192＝24.答案 2411．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________．解析 当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax，化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)>0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，故填[－2,0]．答案 [－2,0]12．(2022·北京卷)设函数f(x)＝(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．解析 (1)当a＝1时，f(x)＝7\n当x<1时，2x－1>－1∈(－1,1)，当x≥1时，f(x)＝4(x2－3x＋2)＝4≥－1，∴f(x)最小值为－1.(2)由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)＝2x－a，x＜1没有零点时，a≥2或a≤0.当a≥2时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时，有2个零点；当a≤0时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时无零点．因此a≥2满足题意．当f(x)＝2x－a，x＜1有一个零点时，0＜a＜2.f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1有一个零点，此时a＜1,2a≥1，因此≤a＜1.综上知实数a的取值范围是.答案 (1)－1 (2)∪[2，＋∞)三、解答题13．(2022·湖州模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.∴函数f(x)的零点为3和－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．∴b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以0<a<1.因此实数a的取值范围是(0,1)．14．(2022·浙江卷)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．(1)当b＝＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式；7\n(2)已知函数f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围．解 (1)当b＝＋1时，f(x)＝2＋1，故对称轴为直线x＝－.当a≤－2时，g(a)＝f(1)＝＋a＋2.当－2＜a≤2时，g(a)＝f＝1.当a＞2时，g(a)＝f(－1)＝－a＋2.综上，g(a)＝(2)设s，t为方程f(x)＝0的解，且－1≤t≤1，则由于0≤b－2a≤1，因此≤s≤(－1≤t≤1)．当0≤t≤1时，≤st≤，由于－≤≤0和－≤≤9－4，所以－≤b≤9－4.当－1≤t＜0时，≤st≤，由于－2≤＜0和－3≤＜0，所以－3≤b＜0.故b的取值范围是[－3,9－4]．15．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；7\n(2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得，当0<x<80时，L(x)＝(0.05×1000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250.当x≥80时，L(x)＝(0.05×1000x)－51x－＋1450－250＝1200－.所以L(x)＝(2)当0<x<80时，L(x)＝－(x－60)2＋950，此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950(万元)．当x≥80时，L(x)＝1200－≤1200－2＝1200－200＝1000.此时，当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．因为950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．7
