第01节空间几何体的结构及其三视图和直观图【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测空间几何体的结构及其三视图和直观图1．了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征。2．理解简单空间图形(柱、锥、台、球的简易组合)的含义，了解中心投影的含义，掌握平行投影的含义。3．理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体。会用斜二测法画出它们的直观图。2022•浙江文5,20；理10,12,20;2022•浙江文3,20；理3,20;2022•浙江文2,18；理2,13,17；2022•浙江文9,18；理11,17;2022•浙江3,9,19.1.以考查三视图、几何体的结构特征以及几何体的面积体积计算为主，三视图基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；几何体的结构特征往往在解答题中考查，与平行关系、垂直关系等相结合.2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用的.3.备考重点：(1)掌握三视图与直观图的相互转换方法是关键；(2)掌握常见几何体的结构特征.【知识清单】1．空间几何体的结构特征一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线-14-\n圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．对点练习：有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4【答案】A2空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．对点练习：-14-\n【2022年福建省数学基地校高三复习试卷】一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为( )A.B.C.D.【答案】D3.空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．对点练习：【2022北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）3（B）2（C）2（D）2-14-\n【答案】B【解析】【考点深度剖析】三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征．【重点难点突破】考点1：空间几何体的结构特征【1-1】如图几何体中是棱柱的有( )-14-\nA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【1-2】下列命题中正确的有__________．①有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；②存在一个四个侧面都是直角三角形的四棱锥；③如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形；④圆台的任意两条母线所在直线必相交；【答案】②④【解析】①不正确，因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交与一点．②如右图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故②正确；③如图所示的棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面不是矩形；故③错误④根据圆台的定义和性质可知，命题④正确．所以答案为②④【领悟技法】系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．【触类旁通】【变式1】一个棱柱是正四棱柱的条件是( )．A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直-14-\nD．每个侧面都是全等矩形的四棱柱【答案】C【解析】 A，B两选项中侧棱与底面不一定垂直，D选项中底面四边形不一定为正方形，故选C.【变式2】【2022届云南省名校月考一】已知长方体的所有顶点在同一个球面上，若球心到过点的三条棱所在直线的距离分别是，则该球的半径等于__________．【答案】考点2空间几何体的直观图【2-1】利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________(写出所有正确的序号)．①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．【答案】①②④【解析】①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．【2-2】在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.【答案】矩形 8-14-\n【领悟技法】按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝S直观图．【触类旁通】【变式1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A． B.C. D．【答案】A【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为，所以原图上、下底分别为1,，高为2的直角梯形．所以面积S＝(＋1)×2＝.故选A. 【变式2】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形【答案】C【解析】将直观图还原得▱OABC，如图，∵O′D′＝O′C′＝2(cm)，OD＝2O′D′＝4(cm)，C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，OC＝＝＝6(cm)，OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，故原图形为菱形．-14-\n综合点评：解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.考点3 空间几何体的三视图【3-1】【2022届河南省新乡市第一中学高三8月月考】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B-14-\n【3-2】【江西卷】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )【答案】 (1)D (2)D【解析】(1)球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥O ABC,当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.(2)如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.-14-\n【3-3】【2022届广东省广州市海珠区高三综合测试一】如图，点分别是正方体的棱的中点，用过点和点的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（）A.①③④B.②④③C.①②③D.②③④【答案】D【领悟技法】-14-\n三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别.揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．【触类旁通】【变式1】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )【答案】C【变式2】如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )． -14-\n【答案】D【变式3】【武汉市部分学校2022届高三调研】）一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为（）①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.中的A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.综合点评：三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【易错试题常警惕】易错典例：一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．【错解】①②⑤【错因】忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.【正解】①三棱锥的主视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其主视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的主视图是三角形；④-14-\n对于四棱柱，不论怎样放置，其主视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其主视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其主视图也不可能是三角形．故正确答案为①②③⑤.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】【2022届河北省石家庄市二模】如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（）-14-\nA.B.C.D.【答案】A-14-
