9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图基础巩固强化1.(2011·广东佛山质检)若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于( )A．6B．6πC．3πD．6π[答案] C[解析] 由正视图可知，该圆台的上、下底面半径分别是1、2，圆台的高为2，故其母线长为＝，其侧面积等于π·(1＋2)·＝3π.2.(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为( )A．12B．8C．8D．6[答案] D[解析] 设此三棱柱底面边长为a，高为h，则由图示知a＝2，∴a＝4，∴12＝×42×h，∴h＝3，∴侧(左)视图面积为2×3＝6.18\n3．(2011·广东惠州一模)已知△ABC的斜二侧直观图是边长为2的等边△A1B1C1，那么原△ABC的面积为( )A．2B.C．2D.[答案] C[解析] 如图：在△A1D1C1中，由正弦定理＝，得a＝，故S△ABC＝×2×2＝2.4．(文)(2011·山东烟台一模)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为( )A．2B.C．2D．4[答案] A[解析] 该三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的高是侧棱长2，底边长为点C到AB的距离2sin＝，故其侧视图的面积为2.18\n(理)(2012·河南六市联考)如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A．14B．6＋2C．12＋2D．16＋2[答案] C[解析] 该几何体是一个正三棱柱，设底面正三角形边长为a，则a＝，∴a＝2，又其高为2，故其全面积S＝2×(×22)＋3×(2×2)＝12＋2.5．(2011·广东文，7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20B．15C．12D．10[答案] D[解析] 从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．6．(文)(2012·河北郑口中学模拟)某几何体的主视图与左视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是( )18\n[答案] D[解析] 由主视图及俯视图可知该几何体的高为1，又∵其体积为，故为锥体，∴S底＝1，A中为三角形，此时其底面积为，舍去；B为个圆，底面积为，也舍去，C为圆，其面积为π舍去，故只有D成立．[点评] 如果不限定体积为，则如图(1)在三棱锥P－ABC中，AC⊥BC，PC⊥平面ABC，AC＝BC＝PC＝1，则此三棱锥满足题设要求，其俯视图为等腰直角三角形A；如图(2)，底半径为1，高为1的圆锥，被截面POA与POB截下一角，OA⊥OB，则此时几何体满足题设要求，其俯视图为B；如图(3)，这是一个四棱锥，底面是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，此几何体满足题设要求，其俯视图为D.(理)(2011·北京丰台区期末)若一个螺栓的底面是正六边形，它的正(主)视图和俯视图如图所示，则它的体积是( )18\nA.＋πB．3＋πC．9＋πD．9＋π[答案] C[解析] 由三视图知，该螺栓的上部是一个底半径为0.8，高为2的圆柱，下部是底面边长为2，高为1.5的正六棱柱，故体积V＝π×0.82×2＋6××22×1.5＝9＋，故选C.7．(文)(2012·北京东城综合练习)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．[答案] 1[解析] 由三视图知原几何体是如图所示的三棱柱．则V＝Sh＝××1×＝1.18\n(理)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为____________m3.[答案] 4[解析] 由几何体的三视图知，原几何体是两个长方体的组合体．上面的长方体的底面边长为1,1，高为2，体积为2；下面长方体底面边长为2,1，高为1，体积为2.∴该几何体的体积为4.8．(2012·内蒙包头市模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是________．18\n[答案] 16π[解析] 由三视图知，该几何体是一个正三棱柱，底面正三角形边长为3，高为2，故其外接球半径R满足R2＝()2＋(××3)2＝4，∴R＝2，∴S球＝4πR2＝16π.9．(2011·安徽知名省级示范高中联考)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为.其中正确的是________．(请写出所有正确结论的序号)[答案] ②③④⑤[解析] ∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面BFD1E∩平面ADD1A1＝D1E，平面BFD1E∩平面BCC1B1＝BF，∴D1E∥BF；同理BE∥FD1，∴四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立；当E、F分别为AA1、CC1的中点时，易证BF＝FD1＝D1E＝BE，∴EF⊥BD1，又EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥平面BB1D1D，∴平面BFD1E⊥平面BB1D1E，∴②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，最小值为.10．(2012·沈阳质量监测)已知一个四棱锥P－ABCD的三视图(主视图与左视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角线的正方形)如下，E是侧棱PC的中点．18\n(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)求证：平面APC⊥平面BDE.[解析] (1)由三视图可知，AB＝BC＝1，PC⊥平面ABCD，且PC＝2，又底面ABCD是正方形，故S正方形ABCD＝1，所以VP－ABCD＝×1×2＝.(2)证明：因为底面ABCD是正方形，所以对角线AC⊥BD，又PC⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，故BD⊥PC，又PC∩AC＝C，所以，BD⊥平面APC.又BD⊂平面BDE，故平面APC⊥平面BDE.能力拓展提升11.正四面体ABCD的棱长为1，G是△ABC的中心，M在线段DG上，且∠AMB18\n＝90°，则GM的长为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] ∵G是正四面体ABCD的面ABC的中心，M在DG上，∴MA＝MB，又∠AMB＝90°，AB＝1，∴MA＝MB＝，又AG＝，∴MG＝＝＝.12．(2011·辽宁文，10)已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 18\n如右图所示，连接OA、OB(O为球心)．∵AB＝2，∴△OAB为正三角形．又∵∠BSC＝∠ASC＝45°，且SC为直径，∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形．∴BO⊥SC，AO⊥SC.又AO∩BO＝O，∴SC⊥平面ABO.∴VS－ABC＝VC－OAB＋VS－OAB＝·S△OAB·(SO＋OC)＝××4×4＝，故选C.13．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；18\n④当E∈AA1时，AE＋BF是定值．其中正确命题的序号是________(填上所有可能的序号)．[答案] ①③④[解析] 由于容器一边BC固定于水平地面上，所以随着容器倾斜度的变化，水面四边形EFGH的一组对边EH和FG始终与BC平行且相等，而另一对边EF与GH是变化的，因此A1D1与水面平行，且水的部分是一个棱柱(BC为垂直于两底的侧棱)，由于水的体积不变，故棱柱的底面面积不变，因此AE＋BF为定值．14．(文)一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为10cm的扇形，则圆锥的体积为________．[答案] 96πcm3[解析] 扇形弧长l＝10×＝12π，设圆锥底面半径为R，高为h，则2πR＝12π，∴R＝6，∴h＝＝8，∴体积V＝πR2h＝96π.(理)(2011·南京市调研)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.[答案] 13[解析] 如图，将三棱柱侧面A1ABB1置于桌面上，以A1A为界，滚动两周(即将侧面展开两次)，则最短线长为AA″1的长度，∴AA1＝5，AA″＝12，∴AA″1＝13.18\n15．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．[解析] (1)证明：∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.(2)不妨设MA＝1，∵四边形ABCD为正方形，∴PD＝AD＝2，又∵PD⊥平面ABCD，所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝.18\n∵MA⊥平面ABCD，∴MA⊥AD，又ABCD为正方形，∴BC⊥AD，∴AD⊥平面MAB，又PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥VP－MAB＝××2＝.所以VP－MAB：VP－ABCD＝1：4.16．(文)下图是一几何体的直观图和三视图．(1)若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；(2)求几何体BEC－APD的体积．[解析] (1)证明：由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，PA＝2EB＝4.∵PA＝AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，又AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF.∴AF⊥平面PCD.(2)VBEC－APD＝VC－APEB＋VP－ACD＝×(4＋2)×4×4＋××4×4×4＝.(理)多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点．18\n(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：PA⊥平面PDC.[证明] 由多面体PABCD的三视图知，该几何体是四棱锥，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是等腰直角三角形，PA＝PD＝，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)连接AC，由ABCD为正方形知，F是AC的中点，又∵E是PC的中点，∴在△CPA中，EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.∵△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝.即PA⊥PD.又CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PDC.1．(2012·湖南文，4)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )18\n[分析] 由正视图和侧视图知，该几何体是两个柱体的组合体，可对照选项逐个判断求解．[答案] C[解析] 若俯视图为选项A，则几何体上下两部分都是圆柱；若俯视图为选项B，则几何体上部为正四棱柱，下部为圆柱；若俯视图为D，则几何体下部是一个正四棱柱，上部是一个直三棱柱，三棱柱的底面为直角三角形，两直角边分别与正视、侧视的投射线平行；俯视图若为C选项，则其正视图应该是侧视图与正视图不全等，所以选C.2．(2011·北京文，5)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A．32B．16＋1618\nC．48D．16＋32[答案] B[解析] 由三视图知原几何体是一个底面边长为4，高是2的正四棱锥．如图：∵AO＝2，OB＝2，∴AB＝2.又∵S侧＝4××(4×2)＝16，S底＝4×4＝16，∴S表＝S侧＋S底＝16＋16.3．(2012·保定市一模)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的体积是(单位：m3)．( )A．4＋2B．4＋C.D.[答案] D[解析] 由侧视图和俯视图是全等的等腰三角形，及正视图为等腰直角三角形可知，该几何体可看作边长AB＝BC＝，AC＝2的△ABC绕AC边转动到△PAC位置(平面PAC⊥平面ABC)所形成的几何体，故其体积V＝×(×2×2)×2＝.18\n4．(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的左视图可能为( )[答案] B[解析] 由三视图间的关系，易知其左视图是一个底边长为，高为2的直角三角形，故选B.[点评] 由题设条件及主视图、俯视图可知，此三棱锥P－ABC的底面是正△ABC，侧棱PB⊥平面ABC，AB＝2，PB＝2.18\n18
