专题3.3利用导数研究函数的单调性【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。2022·浙江文理科8，21；2022•浙江文科21，理科22；2022•浙江卷7，20.1.以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现.3.备考重点：(1)熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2)熟练掌握利用导数研究函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.【知识清单】1．利用导数研究函数的单调性在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．对点练习：【2022北京理数】设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.10\n所以，当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，，，故的单调递增区间为.【考点深度剖析】导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式、方程等结合考查，综合性较强,其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．【重点难点突破】考点1确定函数的单调性或求函数的单调区间【1-1】【2022山西五校联考】已知函数与的图象如下图所示，则函数的递减区间为（）10\nA．B．，C．D．，【答案】B【解析】,由图可知,当时,,即在单调递增；当时,,即在单调递减；当时,,即在单调递增.而和的交点为,所以,在和时,,即,故选B.【1-2】2022·深圳模拟】已知函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x，当a<0时，讨论函数f(x)的单调性．【答案】当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当－2<a<0时，f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减；当a<－2时，f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)上单调递增，在(2，－a)上单调递减．∵0<x<2或x>－a时，f′(x)>0；2<x<－a时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)上单调递增，在(2，－a)上单调递减．综上所述，当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当－2<a<0时，f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减；当a<－2时，f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)上单调递增，在(2，－a)上单调递减．【领悟技法】1.导数法证明函数在内的单调性的步骤(1)求；10\n(2)确认在内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数．2.求函数的单调区间方法一：①确定函数的定义域；②求导数；③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．3.求函数的单调区间方法二：①确定函数的定义域；②求导数，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【触类旁通】【变式一】【2022·鸡西模拟】函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【答案】D【变式二】已知函数.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当时，求函数的单调区间．【答案】（1）（2）单调递增区间是单调递减区间为.【解析】(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，由已知可得解得(2)令10\n令得由得，或；由得，∴单调递增区间是单调递减区间为.考点2已知函数的单调性求参数的范围【2-1】【2022浙江嘉兴测试】若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得在上恒成立，则，故选C．【2-2】若在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是( )A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1)【答案】C【解析】由题意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0，在x∈(1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x在(1，＋∞)上的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可．【领悟技法】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.10\n方法一：转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”；方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上递增(减).方法一：转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.【触类旁通】【变式一】已知向量，，若函数在区间(－1,1)上存在增区间，则t的取值范围为________．【答案】【变式二】已知函数，（其中）.（1）求的单调区间；（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为.（2）.【解析】（1），，，故.当时，；当时，.的单调增区间为，单调减区间为.10\n【易错试题常警惕】易错典例：【2022·成都诊断】已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.易错分析：对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；对于②：h(x)在[1，4]上单调递减，应等价于h′(x)≤0在[1，4]上恒成立，易误认为“等价于h′(x)<0在[1，4]上恒成立”.正确解析：(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，①所以h′(x)＝－ax－2，由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，②即a>－有解.设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可.而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1.所以a>－1.(2)由h(x)在[1，4]上单调递减得，10\n温馨提醒：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【学科素养提升之思想方法篇】_____化整为零，积零为整——分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型 ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的； ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【典例】【2022湖北襄阳四校期中联考】已知函数当时，求的单调区间；10\n当时，的图象恒在的图象上方，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）当时，单调增区间是，单调减区间是；当时，单调增区间是，，单调减区间是；当时，单调增区间是，无减区间；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得导函数，然后分、、讨论导函数与0之间的关系，由此求得函数的单调区间；（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）将问题转化为对恒成立，然后令，从而通过求导函数，再构造新函数得到函数的单调性，进而求得的取值范围．试题解析：…（1分）当时，，时，，单调递减时，，单调递增…（2分）当时，令得．(i)当时，，故：时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增；…（4分）(ii)当时，，恒成立，在上单调递增，无减区间；…（5分）综上，当时，的单调增区间是，单调减区间是；当时，的单调增区间是，单调减区间是；当时，的单调增区间是，无减区间.…（6分）10\n(i)当时，恒成立，在上单调递增，，在上单调递增，符合题意；…（10分）10
