第02节命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测1.命题及其关系1.理解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系。2.了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义。无独立命题1.该部分知识独立考查的可能性很小，注意体现在具体命题的判断及逻辑推理的思维活动中。2.备考重点：(1)命题的真假的判断；(2)充分条件、必要条件的判断2.充分条件和必要条件理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件。2022浙江62022浙江文62022浙江文3，理62022浙江文2，理22022浙江文,3，理4【知识清单】1．命题及其关系（1）命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．（2）四种命题及相互关系（3）四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．对点练习：有下列四个命题（1）若“，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则11\n”的逆否命题。其中真命题为（）A、（1）（2）B、（2）（3）C、（4）D、（1）（3）【答案】D2．逻辑联结词（1）用联结词“且”联结命题p和命题q，记作____，读作______”．（2）用联结词“或”联结命题p和命题q，记作_____，读作“____”．（3）对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_____，读作“_____”．（4）命题p且q、p或q、非p的真假判断对点练习：【2022山东，理3】已知命题p:；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是（A）（B）（C）（D）【答案】B3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．对点练习：【2022天津，文2】设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件11\n【答案】【解析】【考点深度剖析】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．从近5年命题看，其在试卷中的位置逐步后移，难度较以往略大.【重点难点突破】考点1四种命题的关系及真假判断【1-1】给出命题：已知实数满足，则,它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】∵．∴原命题为真，从而逆否命题为真；若，显然得不出，故逆命题为假，因而否命题为假，选B．【1-2】命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（）A．若是偶数，则与不都是偶数B．若是偶数，则与都不是偶数C．若不是偶数，则与不都是偶数D．若不是偶数，则与都不是偶数【答案】C【领悟技法】1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；11\n（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．3.判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．4.否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．【触类旁通】【变式一】命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题【答案】D【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若的三内角成等差数列，则有一内角为”，它是真命题．【变式二】下列命题中为真命题的是( )A．命题“若，则”的逆命题B．命题“，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则”的否命题D．命题“若，则”的逆否命题【答案】A考点2含有逻辑联结词的命题11\n【2-1】【2022届山东青岛二模】已知命题，“为假”是“为真”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若“为假”，则“p”为真，“为真”，充分性成立；若“为真”，则“p”为真或“q”为真，即“为假”或“为假”，必要性不成立；综上可得：“为假”是“为真”的充分不必要条件.本题选择A选项.【2-2】【2022山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a<b.下列命题为真命题的是A．B.C.D.【答案】B【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.【领悟技法】1．逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．“pq”“pq”“p”形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题p、q的真假；（3）确定“pq”“pq”“p”形式命题的真假．3．含逻辑联结词命题真假的等价关系（1）pq真⇔p,q至少一个真⇔(p)(q)假.（2）pq假⇔p,q均假⇔(p)(q)真.（3）pq真⇔p,q均真⇔(p)(q)假.（4）pq假⇔p,q至少一个假⇔(p)(q)真.11\n（5）p真⇔p假;p假⇔p真.4．命题p且q、p或q、非p的真假判断规律：pq中p、q有一假为假，pq有一真为真，p与非p必定是一真一假．【触类旁通】【变式一】已知命题：函数的图像关于直线对称，：函数的图像关于点对称，则下列命题中的真命题为（）A．B．C．D．【答案】A【变式二】【2022届安徽蚌埠二模】在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（）A.为真命题B.为真命题C.为真命题D.为真命题【答案】A考点3充分必要条件的判定【3-1】【2022浙江卷6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4+S6>2S5”的11\nA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由，可知当，则，即，反之，，所以为充要条件，选C．【3-2】【2022浙江杭州重点中学期中】在△中，“”是“△为直角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】在中，若，则，所以为直角三角形；但若为直角三角形，则或或，所以在中，“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，故选A．【3-3】【2022届浙江高三上学期模拟】“直线与平面内的两条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】【领悟技法】充要关系的几种判断方法(1)定义法：若，则是的充分而不必要条件；若，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件；若，则是的既不充分也不必要条件。(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q11\n的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件【触类旁通】【变式一】【2022浙江湖州、衢州、丽水4月联考】已知平面与两条不重合的直线，则“，且”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则必有，但时，直线与平面可以平行，可以相交，可以在平面内，不一定垂直，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A．【变式二】【2022浙江“超级全能生”3月联考】“函数存在零点”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分不用必要条件【答案】B【解析】,所以若函数存在零点,则,因此“函数存在零点”是“”的必要不充分条件,选B.考点4充分条件与必要条件的应用【4-1】给定两个命题，,若是的必要而不充分条件，则是的A.充分不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且可得且，所以是的充分不必要条件.【4-2】已知集合，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是．【答案】11\n【领悟技法】１．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．２．对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性。此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）。【触类旁通】【变式一】【2022河北衡水押题卷】已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故【变式二】若f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是( )A．(－∞，－1]B．(－1，＋∞)C．3，＋∞)D．(3，＋∞)【答案】D【易错试题常警惕】易错典例：已知不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是____________．11\n易错分析，(1)“”是“”的充分条件，但不是必要条件，学生容易看成必要条件；(2)从集合的角度看，若设，，则，学生容易看成.正确解析：由题意知：是不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件．所以是的真子集．而，所以有，解得，所以的取值范围是.温馨提醒：利用充分条件、必要条件求解参数的值或取值范围是高考的一个重点内容，解答此类问题的关键是从正反两方面考虑，紧扣充分条件、必要条件的定义，若有大前提，在进行正反两方面推理时，大前提都要参与推理，是推理的条件．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．【素养提升之思想方法篇】---------转化与化归思想转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法。转化与化归思想在本节中的应用主要是:(1)判断命题真假:原命题和其逆否命题同真同假,原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等【典例】已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分条件，则m的取值范围为________．【答案】 9，＋∞)11\n11
