课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．(2014·北京卷)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a>b⇒/a2>b2，例如：a＝1，b＝－2；a2>b2⇒/a>b，例如：a＝－2，b＝1.答案：D2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案：A3．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．答案：D4．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x24\n＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．答案：A5．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A．a≥4B．a>4C．a≥1D．a>1解析：要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需a≥4.∴a>4是命题为真的充分不必要条件．答案：B6．(2014·江西卷)下列叙述中正确的是( )A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β解析：A中，a＝b＝0，c≥0也能推出ax2＋bx＋c≥0，A错；B中，若b＝0，则a>c⇒/ab2>cb2，B错；C中，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定为“存在x∈R，有x2<0”，C错；D正确．答案：D二、填空题7．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．答案：假8．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．答案：②③9．已知α：x≥a；β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，4\n∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.答案：(－∞，0]三、解答题10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题．(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题为真命题，证明如下：∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．11．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.∵p⇒q，q⇒/p，∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}．故有且两个等号不同时成立，解得a≥9.因此，所求实数a的取值范围是[9，＋∞)．1．ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )A．0<a≤1B．a<1C．a≤1D．0<a≤1或a<0解析：当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根．当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.设此时方程的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝，当只有一个负实根时，⇒a<0；当有两个负实根时，⇒0<a≤1.综上所述，a≤1.答案：C4\n2．若“0<x<1”是“(x－a)[x－(a＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )A．[－1,0]B．(－1,0)C．(－∞，0]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析：依题意0<x<1⇒a≤x≤a＋2，∴，∴－1≤a≤0.答案：A3．设函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“f(x)为奇函数”是“φ＝”的________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)解析：必要性：当φ＝时，f(x)＝－sin2x为奇函数；而当φ＝＋2π时，f(x)＝－sin2x也为奇函数，所以充分性不成立．解答此类问题，需明确方向．肯定的要会证明，否定的要会举反例．答案：必要不充分4．已知(x＋1)(2－x)≥0的解集为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1<0的解集为条件q.(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：(1)设条件p的解集为集合A，则A＝{x|－1≤x≤2}，设条件q的解集为集合B，则B＝{x|－2m－1<x<m＋1}，若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，故有解得m>1.(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，则B是A的真子集，故有解得－<m≤0.4
