江西省九江市2022届高三数学第一次高考模拟统一考试试题理新人教A版本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，时间120分钟．第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．2、设复数，则的共轭复数为（）A．B．C．D．3、已知，则（）A．B．C．D．4、已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（）A．B．C．D．5、已知函数（）的图象向左平移个单位后得到，则的值为（）A．B．C．D．6、在如下程序框图中，输入，若输出的是，则程序框图中的判断框应填入（）15\nA．B．C．D．7、已知抛物线的方程为（），过抛物线上一点和抛物线的焦点作直线交抛物线于另一点，则（）A．B．C．D．8、若实数，满足，则的最小值为（）A．B．C．D．9、如图，网格纸上小正方形边长为，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（）A．B．C．D．10、已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若，则的面积为（）A．B．C．D．11、平面截球的球面得圆，过圆心的平面与的夹角为，且平面截球的球面得圆．已知球的半径为，圆的面积为，则圆的半径为（）A．B．C．D．12、已知定义在上的函数，当时，，且对任意的实数（，且），都有，若有且仅有三个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）15\n本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、的展开式中的系数为．（用数字作答）14、已知直线是函数的切线，则实数．15、等差数列中，，，（），则数列的公差为．16、如图，在中，三内角，，的对边分别为，，，且，，为的面积，圆是的外接圆，是圆上一动点，当取得最大值时，的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）已知各项不为零的数列的前项和为，且满足．求数列的通项公式；设数列满足，求数列的前项和．18、（本小题满分12分）如图所示，在长方体中，（），、分别是和的中点，且平面．求的值；求二面角的余弦值．15\n19、（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050能否据此判断有%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．现从选择做几何题的名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．附表及公式．20、（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，、是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为．15\n求椭圆的方程；是否存在一定点（），使得当过点的直线与曲线相交于，两点时，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分12分）设函数，（其中为自然对数的底数，，且），曲线在点处的切线方程为．求的值；若对任意，与有且只有两个交点，求的取值范围．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲15\n如图，已知是的直径，是的切线，为切点，交于点，连接、、、，延长交于．证明：；证明：．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．写出直线的极坐标方程与曲线的普通方程；若点是曲线上的动点，求到直线的距离的最小值，并求出点的坐标．24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．当时，解不等式；若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．15\n九江市2022年第一次高考模拟统一考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.解：，，故选C.2.解：，故选B.3.解：，故选B.4.解：故选B.5.解：由题意得又即，故选C.6.解：时，；时，；时，；时，；…；时，，结束，故选B.7.解：联立方程组，得，，故选C.xyOABC8.解：依题意，得实数满足，画出可行域如图所示，其中，PABCD，故选A.15\n9.解：直观图如图所示四棱锥故此棱锥的表面积为，故选A.10.解：设内切圆的半径为，即OMNAB，故选B.11.解：如图，，又xyO8421410又，故选B.12.解：如图所示，易得依题意得，，故选D.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.解：的系数为.14.解:设切点为，则，，又，15.解：，解得，即.16.解：15\nABCPOxy设圆的半径为，则当时，取得最大值建立如图直角坐标系，则，，，设，则当且仅当时，取最大值.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解:（1）当时，………2分当时，………①………②①-②得………4分数列是首项为2，公比为2的等比数列………6分(2)………7分两式相减得…11分15\n………12分18.解：以为原点，、、为轴的正方向建立空间直角坐标系.设，则则，，，，，，……2分(1)由已知可得，，………3分xyz,，………4分即………5分(2)设平面的法向量为，则，………7分由（1）可得为平面的法向量，且………9分………11分又二面角为锐二面角二面角的余弦值为………12分19.解:(1)由表中数据得的观测值………2分15\n所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关………3分(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)………4分设事件为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为………5分由几何概型即乙比甲先解答完的概率为………7分(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种………8分可能取值为，，，的分布列为：………11分………12分15\n设过点的直线方程为，代入中得:，设、，则，………9分综上得定点为，定值为3………12分21.解：(1)由，得………1分由题意得………2分………3分15\n(2)令，则任意，与有且只有两个交点，等价于函数在有且只有两个零点.由，得………5分①当时，由得；由得.此时在上单调递减，在上单调递增.，（或当时，亦可）要使得在上有且只有两个零点，则只需，即………7分②当时，由得或；由得.此时在上单调递减，在和上单调递增.此时此时在至多只有一个零点，不合题意………9分③当时，由得或，由得，此时在和上单调递增，在上单调递减，且，在至多只有一个零点，不合题意………11分综上所述，的取值范围为………12分22.证明：(1)为圆的切线，为切点，为圆的直径………1分15\n又………3分又………5分(2)由弦切角定理可知，四边形为圆的内接四边形………8分又………10分23.解:(1)由，得………1分直线的极坐标方程为:即即………3分即曲线的普通方程为………5分(2)设，到直线的距离………8分当时，此时当点为时，到直线的距离最小，最小值为………10分24.解:(1)………1分等价于或或………3分15\n解得或，所以不等式的解集为………5分(2)由不等式性质可知………8分若存在实数，使得不等式成立，则，解得实数的取值范围是………10分15
