高考填空题分项练5 函数的图象与性质1．函数y＝的单调增区间为________．答案 [0，＋∞)解析 当x≥0时，y＝x为增函数；当x<0时，y＝x2为减函数．2．函数f(x)＝则f(f(－1))＝________.答案 0解析 f(f(－1))＝f(f(2))＝f(f(5))＝f(1)＝f(4)＝0.3．若函数f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m的值为________．答案 6解析 函数f(x)＝x2－6x＋m的对称轴是x＝3，开口向上，所以函数f(x)在[2,3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在x＝3处取得最小值．由f(3)＝32－6×3＋m＝－3，解得m＝6.故实数m的值为6.4．函数f(x)＝在区间上的对称中心为________．答案 (0,0)解析 f(x)＝＝6\n＝＝tanx，由正切函数的图象可知，f(x)在区间上的对称中心为(0,0)．5．函数y＝|x|(1－x)的单调增区间为________．答案 解析 当x≥0时，y＝|x|(1－x)＝x(1－x)＝x－x2＝－2＋；当x<0时，y＝|x|(1－x)＝－x(1－x)＝x2－x＝2－.故y＝函数图象如图所示．所以函数的单调增区间为.6．已知f(x)＝是奇函数，则f(g(－2))＝________.答案 1解析 方法一 当x<0时，－x>0，g(x)＝－f(－x)＝－(2－x－3)＝3－x，所以g(－2)＝－1，f(g(－2))＝f(－1)＝3－2＝1.方法二 因为g(－2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(g(－2))＝f(－f(2))＝f(－(22－3))＝f(－1)＝－f(1)＝1.7．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在[－1,1]上恒有f(x)<2，则实数a的取值范围为________．答案 ∪(1,2)解析 当a>1时，f(x)在[－1,1]上是增函数，∵在x∈[－1,1]上恒有f(x)<2，∴f(1)<2，∴1<a<2.当0<a<1时，f(x)在[－1,1]上是减函数，6\n∵在x∈[－1,1]上恒有f(x)<2，∴f(－1)<2，∴<2且0<a<1，∴<a<1.综上所述，实数a的取值范围为<a<1或1<a<2.8．当函数f(x)＝有且只有一个零点时，a的取值范围是________．答案 {a|a≤0或a>1}解析 ∵f(1)＝lg1＝0，∴当x≤0时，函数f(x)没有零点，故－2x＋a>0或－2x＋a<0在(－∞，0]上恒成立，即a>2x或a<2x在(－∞，0]上恒成立，故a>1或a≤0.6\n9．若函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f的值是________．答案 解析 因为函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin，所以f＝sin＝sincos＋cossin＝.10．已知关于λ，θ的二元函数f(λ，θ)＝(λ＋5－3|cosθ|)2＋(λ－2|sinθ|)2，其中λ，θ∈R，则f(λ，θ)的最小值为________．答案 2解析 观察(λ＋5－3|cosθ|)2＋(λ－2|sinθ|)2的特征，可知其表示点(λ＋5，λ)与点(3|cosθ|,2|sinθ|)的距离的平方．又点(3|cosθ|,2|sinθ|)在曲线＋＝1(x≥0，y≥0)上，设与直线y＝x－5平行的直线为y＝x＋b，可知当此直线经过点(3,0)时，两平行直线之间的距离的平方即所求最小值，此时直线的方程为y＝x－3，从而两平行直线之间的距离为＝，故f(λ，θ)的最小值为()2＝2.11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)，若当x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．答案 7解析 由题意作出y＝f(x)在区间[－2,4]上的图象，与直线y＝1的交点共有7个，故函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上的零点个数为7.6\n12．已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2＋x.若不等式f(x)－x≤2logax(a>0且a≠1)对∀x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．答案 解析 由已知得当x>0时，f(x)＝x2＋x，故x2≤2logax对∀x∈恒成立，即当x∈时，函数y＝x2的图象不在y＝2logax图象的上方，由图(图略)知0<a<1且2loga≥，解得≤a<1.13．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK(x)＝取函数f(x)＝a－|x|(a>1)．当K＝时，函数fK(x)的单调减区间是________．答案 (1，＋∞)解析 由题意知，当K＝(a>1)时，令f(x)≤，即a－|x|≤，解得x≤－1或x≥1；令f(x)>，即a－|x|>，解得－1<x<1.所以fK(x)如图实线所示．由图象知，fK(x)在(1，＋∞)上为减函数．14．(2022·全国大联考江苏卷)已知函数f(x)＝如果存在实数m，n，其中m<n，使得f(m)＝f(n)，则n－m的取值范围是________．答案 [3－2ln2,2)解析 作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图象可知当f(m)＝f(n)时，－3<m≤－1，－1<n≤e－2，6\n则＝ln(n＋2)，即m＝2ln(n＋2)－3，所以n－m＝n－2ln(n＋2)＋3，设g(n)＝n－2ln(n＋2)＋3，n∈(－1，e－2]，则g′(n)＝1－＝，当－1<n<0时，g′(n)<0，g(n)单调递减，当0<n≤e－2时，g′(n)>0，g(n)单调递增，所以当n＝0时，g(n)有最小值3－2ln2，又g(－1)＝2，g(e－2)＝e－1，g(n)即n－m的取值范围为[3－2ln2,2)．6
