高考填空题分项练9 数 列1．在等差数列{an}中，若a1a3＝8，a2＝3，则公差d＝________.答案 ±1解析 由已知得解得d＝±1.2．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.答案 －729解析 a4＝a1q3＝a1(－3)3＝27，故a1＝－1，所以a7＝a1q6＝－1×(－3)6＝－729.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝________.答案 48解析 设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋×d＝20，即4×＋d＝20，解得d＝3，∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.4．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是{an}的前n项和，则S9＝________.答案 0解析 ∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，∴(a1＋2×2)2＝a1·(a1＋3×2)，化为2a1＝－16，5\n解得a1＝－8，则S9＝－8×9＋×2＝0.5．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为________．答案 解析 ∵a4a6＝a，∴a4a5a6＝a＝3，解得a5＝3.∵a1a9＝a2a8＝a，∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3a＝log33＝.6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．答案 解析 设最上面一节的容积为a1，公差为d，则有即解得则a5＝，故第5节的容积为升．7．已知数列{an}满足a1＝2，且an＝(n≥2，n∈N*)，则an＝________.答案 解析 由an＝，得＝＋，于是－1＝(n≥2，n∈N*)．又－1＝－，∴数列是以－为首项，为公比的等比数列，故－1＝－，∴an＝(n∈N*)．8．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2018项的乘积a1·a2·a3·…·a2018＝________.答案 －6解析 由题意可得a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，5\n∴数列{an}是以4为周期的数列，且a1a2a3a4＝1.而2018＝4×504＋2，∴前2018项的乘积为a1a2＝－6.9．设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足4Sn＝(an＋1)2(n＝1,2,3，…)，则Sn＝________.答案 n2解析 由题意知，Sn＝2，当n＝1时，易得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－2＝＝＋，整理得＝，所以an－an－1＝2，所以an＝2n－1，所以Sn＝n2.10．在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为________．答案 5或6解析 由题意得a1＋2d＝－a1－8d，∴a1＝－5d>0，∴Sn＝na1＋d＝－5nd＋d＝2－d.又∵d<0，n∈N*，∴当n＝5或6时，Sn取最大值．11．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且点P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，则＋＋＋…＋＝________.答案 解析 依题意有an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，所以{an}是等差数列，且an＝1＋(n－1)＝n，5\n于是Sn＝.所以＝＝2，所以＋＋＋…＋＝2＝.12．已知{an}是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{an}的第n项到第n＋5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时的n的值为________．答案 5或6解析 由a5＝15，a10＝－10，得d＝－5，a1＝35，则an＝40－5n，Tn＝3(an＋an＋5)＝15(11－2n)，则|Tn|取得最小值时的n的值为5或6.13．已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，则满足<<的n的最大值为________．答案 9解析 由2an＋1＋Sn＝2，得2(Sn＋1－Sn)＋Sn＝2，即Sn＋1＝Sn＋1，故Sn＋1－2＝(Sn－2)，故{Sn－2}是以S1－2＝－1为首项，为公比的等比数列，故Sn－2＝(－1)×n－1，从而Sn＝2－.故＝＝＝＝1＋，从而<1＋<，即10<2n<1000，故满足条件的n的最大值为9.14．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若数列{an}满足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A>0，则＋B－C的最小值为________．答案 2解析 因为{an}为等差数列，设公差为d，5\n由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n·(n－1)d＝An2＋Bn＋C，即n2＋n＋(a1－d－C)＝0对任意正整数n都成立，所以d－A＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0，所以＋B－C＝＋3A≥2.当且仅当A＝时，等号成立．5
