专题9.4直线与圆、圆与圆的位置关系【基础巩固】一、填空题1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝________.【答案】－【解析】由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.2．(2022·徐州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为________．【答案】2x＋y－7＝03．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是________．【答案】－4【解析】将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1,1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.4．(2022·太原模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为________．【答案】y＝－【解析】圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以PC＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.5．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则CD＝________.【答案】45\n6．(2022·盐城中学月考)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为________．【答案】1【解析】x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以＋＝＝≥＝1，当且仅当＝，即a＝±b时取等号．7．(2022·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是________．【答案】[－2，2]【解析】圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，过点P作圆C的两条切线相互垂直，则PC＝2，又点P在直线y＝k(x＋1)上，则圆心C到直线的距离d＝≤2，解得－2≤k≤2.8．(2022·南通、扬州、泰州三市调研)已知圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0与圆x2＋y2－(2b－10)x－2by＋2b2－10b＋16＝0相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足x＋y＝x＋y，则b＝________.【答案】【解析】由已知得两圆的标准方程分别为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，[x－(b－5)]2＋(y－b)2＝9，设两圆圆心分别为C1(2，－1)，C2(b－5，b)，由圆的几何性质可得直线C1C2是公共弦AB的垂直平分线，又由x＋y＝x＋y得OA＝OB，即坐标原点O在AB的垂直平分线上，即O，C1，C2三点共线，则kOC1＝kOC2，即－＝5\n，解得b＝.二、解答题9．已知一圆C的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l：x－y－1＝0截得的弦长为2，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程．10．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．解 (1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，则＝，∴b＝1±2，∴切线方程为x＋y＋1±2＝0；(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则＝，∴m＝±5，∴切线方程为2x＋y±5＝0；(3)∵kAC＝＝，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.【能力提升】11．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有________个．5\n【答案】3【解析】圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝＝，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点．12．(2022·南京、盐城模拟)过点P(－4,0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________．【答案】x±3y＋4＝013．(2022·徐州、宿迁、连云港三市模拟)已知点A(1,1)，B(1,3)，圆C：(x－a)2＋(y＋a－2)2＝4上存在点P，使PB2－PA2＝32，则圆心横坐标a的取值范围为________．【答案】[6,10]【解析】设P(x，y)，则PB2－PA2＝(x－1)2＋(y－3)2－(x－1)2－(y－1)2＝－4y＋8＝32，即为y＝－6，由题意可得圆C与直线y＝－6有公共点，则|(2－a)－(－6)|≤2，即|a－8|≤2，解得6≤a≤10，故实数a的取值范围是[6,10]．14．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；(2)若a＝，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值．解 (1)由条件知点M在圆O上，所以1＋a2＝4，则a＝±.当a＝时，点M为(1，)，kOM＝，k切＝－，此时切线方程为y－＝－(x－1)．即x＋y－4＝0，当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.此时切线方程为y＋＝(x－1)．即x－y－4＝0.5\n所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，则d＋d＝OM2＝3.5
