专题7.1不等关系与不等式【基础巩固】一、填空题1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是________．【答案】f(x)>g(x)【解析】f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0⇒f(x)＞g(x)．2．已知下列四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0能推出＜成立的个数为________．【答案】3【解析】运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得＜，②，④正确．又正数大于负数，①正确，③错误．3．(2022·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________．【答案】{x|－1<x<2}【解析】∵2x2－x<4＝22，∴x2－x<2，即x2－x－2<0，解得－1<x<2.4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是________．【答案】[0,4]5．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞3的解集为________．【答案】{x|x＞1}【解析】由题意知或解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}．6．(2022·盐城期中)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】[－1,4]【解析】由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.7．(2022·扬州期末)若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为________．4\n【答案】8．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则解得－＜m＜0.二、解答题9．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)＞0；(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解 (1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}．(2)∵f(x)＞b的解集为(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，∴解得即a的值为3±，b的值为－3.10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．4\n【能力提升】11．(2022·衡水模拟)已知0<a<b<1，给出下列四个不等式：①>；②a<b；③(lga)2<(lgb)2；④>.其中一定成立的不等式的序号为________．【答案】④【解析】因为0<a<b<1，所以－＝<0.可得<，a>b，(lga)2>(lgb)2，lga<lgb<0.由lga<lgb<0得>，因此只有④正确．12．(2022·南通调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)<0的解集为，则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是________．【答案】{x|－ln2<x<ln3}【解析】法一 依题意可得f(x)＝a(x－3)(a<0)，则f(ex)＝a(ex－3)(a<0)，由f(ex)＝a(ex－3)>0，可得<ex<3，解得－ln2<x<ln3.4\n法二 由题知，f(x)>0的解集为，令<ex<3，得－ln2<x<ln3.13．(2022·无锡模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，则有＝1，故a＝2.由f(x)的图象可知f(x)在[－1,1]上为增函数．∴x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.14．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．4
