专题5.3平面向量的数量积【基础巩固】一、填空题1．设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.【答案】－【解析】由题意，得a·b＝0⇒x＋2(x＋1)＝0⇒x＝－.2．已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．【答案】3．(2022·镇江期末)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝________.【答案】【解析】|a－b|＝＝＝＝.4．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是________(填序号)．①|a·b|≤|a||b|；②|a－b|≤||a|－|b||；③(a＋b)2＝|a＋b|2；④(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.【答案】②【解析】对于①，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于②，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于③④容易判断恒成立．5．已知a＝(1，－2)，b＝(x,2)，且a∥b，则|b|＝________.【答案】【解析】∵a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1,2)，∴|b|＝＝.6．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝________.【答案】55\n【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.7．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为________．【答案】【解析】因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝.8．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．【答案】∪二、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，5\n10．(2022·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．解 (1)由m·n＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，所以cosA＝－.因为0<A<π，所以sinA＝＝＝.(2)由正弦定理，得＝，则sinB＝＝＝，因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝.由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，c＝－7舍去，5\n故向量在方向上的投影为||cosB＝ccosB＝1×＝.【能力提升】11．(2022·南通、扬州、泰州调研)如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若||＝3，||＝5，则(＋)·(－)的值为________．【答案】－16【解析】(＋)·(－)＝(2＋)·＝2·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝32－52＝－16.12．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________．【答案】－4【解析】∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.13．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．【答案】514．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC5\n三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．(1)若m＝n＝，求||；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解 (1)∵m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，5
