专题5.3平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝【解析】因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝【解析】由四边形ABCD是平行四边形，知＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标为【解析】由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|＝3，则＝3，所以λ＝－3，b＝(3，－6)，4．(2022·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为5．(2022·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为【解析】如图所示，＝＋.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，所以＝＋.又＝－，则·＝＋·(－)＝·－2＋2－·＝2－2－·.又||＝||＝1，∠BAC＝60°，故·＝－－×1×1×＝.6．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，4\nλ∈R，若·＝－，则λ＝7．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|＝________.【解析】由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)·b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝＝8.8．已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．【解析】∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.9．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，则解得λ<－或0<λ<或λ>，所以λ的取值范围是∪∪.10.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．【解析】设＝λ＋μ，因为N在菱形ABCD内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.＝＋＝＋.所以·＝·(λ＋μ)＝2＋·＋μ2＝×4＋×2×2×＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤·≤9，所以当λ＝μ＝1时，·有最大值9，此时，N位于C点．二、解答题11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈4\n.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值．12．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C.(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．解：(1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)，对于△ABC，A＋B＝π－C,0＜C＜π，∴sin(A＋B)＝sinC，∴m·n＝sinC，又m·n＝sin2C，∴sin2C＝sinC，cosC＝，C＝.(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列，可得2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得2c＝a＋b.∵·(－)＝18，∴·＝18，即abcosC＝18，ab＝36.4\n由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，∴c2＝4c2－3×36，c2＝36，∴c＝6.4
