第2讲 不等式问题一、填空题1．(2022·苏北四市调研)存在实数x，使得x2－4bx＋3b＜0成立，则b的取值范围是________．解析 由题意可得Δ＝(－4b)2－4×3b＞0，即为4b2－3b＞0，解得b＜0或b＞.答案 (－∞，0)∪2．(2022·苏州调研)已知f(x)＝则不等式f(x2－x＋1)＜12的解集是________．解析 依题意得，函数f(x)是R上的增函数，且f(3)＝12，因此不等式f(x2－x＋1)＜12等价于x2－x＋1＜3，即x2－x－2＜0，由此解得－1＜x＜2.因此，不等式f(x2－x＋1)＜12的解集是(－1，2)．答案 (－1，2)3．(2022·苏、锡、常、镇模拟)若点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值是________．解析 因为点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，所以m，n∈R＋，且＋＝1，所以·≤，所以·≤＝，即mn≤3，所以mn的最大值为3.答案 34．(2022·广东卷改编)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为________．解析 不等式组所表示的可行域如下图所示，5\n由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题意当目标函数直线l：y＝－x＋经过A时，z取得最小值，即zmin＝3×1＋2×＝.答案 5．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析 ∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号)．又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥，而≤＝2，∴当且仅当x＝2y时，＝2.∴λ的最小值为2.答案 26．(2022·南京、盐城模拟)若＜0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是________．解析 依题意，对任意的x∈[4，＋∞)，有f(x)＝(mx＋1)·(m2x－1)＜0恒成立，结合图象分析可知由此解得m＜－，即实数m的取值范围是.答案 7．(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．解析 f(f(－3))＝f(1)＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号；当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，∴f(x)的最小值为2－3.答案 0 2－35\n8．(2022·苏、锡、常、镇调研)已知x，y∈R，满足2≤y≤4－x，x≥1，则的最大值为________．解析 画出不等式组对应的平面区域，它是以点(1，2)，(1，3)，(2，2)为顶点的三角形区域．＝＝＋，令＝t∈(经过点(2，2)时取得最小值，经过点(1，3)时取得最大值)，则＝＋t，又′＝1－＝≤0，t∈，所以函数y＝＋t在t∈上单调递减，所以当t＝时，取得最大值为.答案 二、解答题9．已知函数f(x)＝.(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．解 (1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0.由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.10．(2022·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．5\n(1)求θ关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝.(2)花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0＜x＜10)．装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，所以花坛的面积与装饰总费用的比y＝＝－，令t＝17＋x，则y＝－≤，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝.答：当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．11．(2022·南师附中模拟)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．(1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2；(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值．(1)证明 易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥＋1.于是c≥1，且c≥2＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.(2)解 由(1)知c≥|b|.当c＞|b|时，有M≥＝＝.令t＝，则－1＜t＜1，＝2－.5\n而函数g(t)＝2－(－1＜t＜1)的值域是.因此，当c＞|b|时，M的取值集合为.当c＝|b|时，由(1)知b＝±2，c＝2.此时f(c)－f(b)＝－8或0，c2－b2＝0，从而f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立．综上所述，M的最小值为.5
