第4讲 不等式选讲1．(2022·江苏卷)已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.证明 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知，|x＋y|＜，|2x－y|＜，从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.2．(2022·江苏卷)解不等式：x＋|2x－1|＜3.解 原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是.3．(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.证明 (1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2，因为a，b都是正数，所以a＋b＞0，又因为a≠b，所以(a－b)2＞0，于是(a＋b)(a－b)2＞0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，所以a3＋b3＞a2b＋ab2.(2)因为b2＋c2≥2bc，a2≥0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①同理b2(a2＋c2)≥2ab2c.②c2(a2＋b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c＞0，因此≥abc.4．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.(1)解 因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，3\n所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明 由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.5．设函数f(x)＝2|x－1|＋|x＋2|.(1)求不等式f(x)≥4的解集；(2)若不等式f(x)＜|m－2|的解集是非空集合，求实数m的取值范围．解 (1)f(x)＝令f(x)≥4，则或或解得x≤0或x≥，所以不等式f(x)≥4的解集是.(2)f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以f(x)≥f(1)＝3.由于不等式f(x)＜|m－2|的解集是非空集合，所以|m－2|＞3，解得m＜－1或m＞5，即实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(5，＋∞)．6．(2022·全国Ⅱ卷)设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明 (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2,即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.3\n因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．3
