补偿练2 函数与导数(建议用时：40分钟)1．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝__________．解析 由题意am＝2，an＝3，所以a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.答案 122．函数f(x)＝的定义域为__________．解析 ∵1－lg(x－2)≥0，∴lg(x－2)≤1，∴0＜x－2≤10，∴2＜x≤12，∴f(x)＝的定义域为(2，12]．答案 (2，12]3．已知幂函数f(x)的图象经过(9，3)，则f(2)－f(1)＝________．解析 设幂函数为f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝，即f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1.答案 －14．若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________．解析 依题意x2＋ax＋1≥0对x∈R恒成立，∴Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2.答案 [－2，2]5．曲线f(x)＝x2(x－2)＋1在点(1，f(1))处的切线方程为________．解析 ∵f(x)＝x3－2x2＋1，∴f′(x)＝3x2－4x，∴f′(1)＝－1，又f(1)＝1－2＋1＝0，∴所求切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.答案 x＋y－1＝06．已知函数f(x)＝sinx＋1，则f(lg2)＋f(lg)＝________．解析 因为所以f(lg2)＋f＝sin(lg2)＋sin＋2，而y＝sinx是奇函数，lg＝－lg2，所以sin(lg2)＋sin(lg)＝0，所以f(lg2)＋f＝2.4\n答案 27．设a＝log32，b＝log23，c＝5，则a，b，c的大小关系是________．解析 ∵0＜log32＜1，1＜log23＜log24＝2，c＝5＜1＝0，∴c＜a＜b.答案 c＜a＜b8．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．解析 f′(x)＝3x2－6b，若f(x)在(0，1)内有极小值，只需f′(0)·f′(1)＜0，即－6b·(3－6b)＜0，解得0＜b＜.答案 9．函数f(x)＝ax2－(a－1)x－3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．解析 当a＝0时，f(x)＝x－3符合题意；当a≠0时，由题意解得0＜a≤.综上a∈.答案 10．设函数f(x)＝则f[f(－1)]＝________；若函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是________．解析 f[f(－1)]＝f(4－1)＝f()＝log2＝－2.令f(x)－k＝0，即f(x)＝k，设y＝f(x)，y＝k，画出图象，如图所示，函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点，由图象可得实数k的取值范围为(0，1]．答案 －2 (0，1]11．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，函数g(x)＝x2－alnx在(1，2)上为增函数，则a的值等于________．解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，∴≥1，得a≥2.4\n又∵g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1，2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1，2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.答案 212．某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．解析 设在甲地销售x辆车，则在乙地销售(15－x)辆车，获得的利润为y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30.当x＝－＝10.2时，y最大，但x∈N，所以当x＝10时，ymax＝－15＋30.6＋30＝45.6.答案 45.613．下列四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(1)＝________．解析 f(x)＝x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)，f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－4)，由a≠0，结合导函数y＝f′(x)，知导函数图象为③，从而可知a2－4＝0，解得a＝－2或a＝2，再结合－a＞0知a＝－2，代入可得函数f(x)＝x3＋(－2)x2＋1，可得f(1)＝－.答案 －14．已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋＞0，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数为________．解析 依题意，记g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，g(0)＝0，当x＞0时，g′(x)＝x＞0，g(x)是增函数，g(x)＞0；当x＜0时，g′(x)＝x[f′(x)＋]＜0，g(x)是减函数，g(x)＞0.在同一坐标系内画出函数y＝g(x)与y4\n＝－的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是1.答案 14
