专题对点练10 三角函数与三角变换1.(2022上海,18)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若fπ4=3+1,求方程f(x)=1-2在区间[-π,π]上的解.2.已知函数f(x)=3cos2x-π3-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-π4,π4时,f(x)≥-12.3.设函数f(x)=cos2x-3sinxcosx+12.(1)求f(x)的最小正周期及值域;(2)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=32,a=3,b+c=3,求△ABC的面积.4.已知函数f(x)=3sinωx·cosωx+cos2ωx-12(ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为π2.(1)求ω的值;(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)-k在区间-π6,2π3上存在零点,求实数k的取值范围.7\n5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A为锐角,且bsinAcosC+csinAcosB=32a.(1)求角A的大小;(2)设函数f(x)=tanAsinωxcosωx-12cos2ωx(ω>0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为π2,将函数y=f(x)的图象向左平移π4个单位,得到函数y=g(x)图象,求函数g(x)在区间-π24,π4上的值域.6.已知f(x)=3sin(π+ωx)·sin3π2-ωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T=π.(1)求f4π3的值;(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2a-c)cosB=bcosC,求角B的大小以及f(A)的取值范围.7.已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx+a,且当x∈0,π2时,f(x)的最小值为2.(1)求a的值,并求f(x)的单调递增区间;(2)先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的12,再将所得图象向右平移π12个单位,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=4在区间0,π2上所有根之和.8.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.7\n(1)求f(x)的解析式,并求函数f(x)在-π12,π4上的值域;(2)在△ABC中,AB=3,AC=2,f(A)=1,求sin2B.7\n专题对点练10答案1.解(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,∴f(-x)=-asin2x+2cos2x.∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴-asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,∴2asin2x=0,∴a=0.(2)∵fπ4=3+1,∴asinπ2+2cos2π4=a+1=3+1,∴a=3,∴f(x)=3sin2x+2cos2x=3sin2x+cos2x+1=2sin2x+π6+1.∵f(x)=1-2,∴2sin2x+π6+1=1-2,∴sin2x+π6=-22,∴2x+π6=-π4+2kπ或2x+π6=54π+2kπ,k∈Z,∴x=kπ-5π24或x=kπ+13π24,k∈Z.∵x∈[-π,π],∴x=-11π24或-5π24或13π24或19π24.∴所求方程的解为x=-11π24或-5π24或13π24或19π24.2.(1)解f(x)=32cos2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+32cos2x=sin2x+π3.所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)证明因为-π4≤x≤π4,所以-π6≤2x+π3≤5π6.所以sin2x+π3≥sin-π6=-12.所以当x∈-π4,π4时,f(x)≥-12.3.解(1)f(x)=cos2x-3sinxcosx+12=cos2x+π3+1,∴f(x)的最小正周期为T=π.∵x∈R,∴-1≤cos2x+π3≤1,故f(x)的值域为[0,2].(2)由f(B+C)=cos2(B+C)+π3+1=32,得cos2A-π3=12.又A∈(0,π),得A=π3.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosπ3=(b+c)2-3bc,又a=3,b+c=3,∴3=9-3bc,解得bc=2,∴△ABC的面积S=12bcsinπ3=12×2×32=32.4.解(1)原函数可化为f(x)=32sin2ωx+1+cos2ωx2-12=32sin2ωx+12·cos2ωx=sin2ωx+π6.∵函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为π2,7\n∴f(x)的最小正周期为2×π2=π.∴2π2ω=π,∴ω=1.(2)由(1)知,ω=1,f(x)=sin2x+π6,将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数y=sin2x+π6+π6=sin2x+π2=cos2x的图象,再将函数y=cos2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=cosx的图象.∴g(x)=cosx.∵x∈-π6,2π3,∴g(x)=cosx∈-12,1.∵函数y=g(x)-k在区间-π6,2π3上存在零点,∴k∈-12,1.∴实数k的取值范围为-12,1.5.解(1)∵bsinAcosC+csinAcosB=32a,∴由正弦定理可得sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=32sinA,∵A为锐角,sinA≠0,∴sinBcosC+sinCcosB=32,可得sin(B+C)=sinA=32,∴A=π3.(2)∵A=π3,可得tanA=3,∴f(x)=3sinωxcosωx-12cos2ωx=32sin2ωx-12cos2ωx=sin2ωx-π6,∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为π2,可得T=2×π2=2π2ω,解得ω=1,∴f(x)=sin2x-π6,∴将y=f(x)的图象向左平移π4个单位,图象对应的函数为y=g(x)=sin2x+π4-π6=sin2x+π3,∵x∈-π24,π4,可得2x+π3∈π4,5π6,∴g(x)=sin2x+π3∈12,1.6.解(1)f(x)=3sin(π+ωx)·sin3π2-ωx-cos2ωx=3sinωx·cosωx-cos2ωx=32sin2ωx-12cos2ωx-12=sin2ωx-π6-12.∵最小正周期为T=π,∴2π2ω=π,ω=1.∴f(x)=sin2x-π6-12.∴f4π3=sin2×4π3-π6-12=12.(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA.∵sinA>0,∴cosB=12,∵B∈(0,π),∴B=π3.∴A∈0,2π3,2A-π6∈-π6,7π6,7\n∴sin2A-π6∈-12,1.即f(A)的取值范围为-1,12.7.解(1)f(x)=2cos2x+23·sinxcosx+a=cos2x+1+3sin2x+a=2sin2x+π6+a+1,∵x∈0,π2,∴2x+π6∈π6,7π6,∴f(x)的最小值为-1+a+1=2,解得a=2,∴f(x)=2sin2x+π6+3.由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,可得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin4x-π6+3,由g(x)=4可得sin4x-π6=12,∴4x-π6=2kπ+π6或4x-π6=2kπ+5π6(k∈Z),解得x=kπ2+π12或x=kπ2+π4(k∈Z),∵x∈0,π2,∴x=π12或x=π4,∴所有根之和为π12+π4=π3.8.解(1)由题图知,34T=11π12-π6=3π4,∴T=π.∴2πω=π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ).∵点π6,2在函数f(x)的图象上,∴sinπ3+φ=1,∴π3+φ=π2+2kπ(k∈Z).∵0<φ<π,∴φ=π6,∴f(x)=2sin2x+π6.∵-π12≤x≤π4,∴0≤2x+π6≤2π3.∴0≤sin2x+π6≤1,∴0≤f(x)≤2,即函数f(x)在-π12,π4上的值域为[0,2].(2)∵f(A)=2sin2A+π6=1,∴sin2A+π6=12.∵π6<2A+π6<13π6,∴2A+π6=5π6,∴A=π3.在△ABC中,由余弦定理得BC2=9+4-2×3×2×12=7,∴BC=7.由正弦定理得7sinπ3=2sinB,故sinB=217.又AC<AB,∴角B为锐角,∴cosB=277,7\n∴sin2B=2sinBcosB=2217×277=437.7
