专题对点练11 三角变换与解三角形1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB·AC=-6,S△ABC=3,求A和a.2.已知a,b,c分别为锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边,且3a=2csinA.(1)求角C;(2)若c=7,且△ABC的面积为332,求a+b的值.3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2bcosA.(1)求角B的大小;(2)若a=2,b=7,求c的长.4.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinC=3ccosA.(1)求角A;(2)若b=2,△ABC的面积为3,求a.5\n5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2c-ba=cosBcosA.(1)求角A的大小;(2)若D为BC上一点,且CD=2DB,b=3,AD=21,求a.6.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,c=3,△ABC的面积为332,又AC=2CD,∠CBD=θ.(1)求a,A,cos∠ABC;(2)求cos2θ的值.7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且满足a=3bcosC.(1)求tanCtanB的值;(2)若a=3,tanA=3,求△ABC的面积.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosC-c=2b.(1)求角A的大小;(2)若c=2,角B的平分线BD=3,求a.5\n专题对点练11答案1.解因为AB·AC=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π,所以A=3π4.又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×22×-22=29,所以a=29.2.解(1)由3a=2csinA及正弦定理得3sinA=2sinCsinA.∵sinA≠0,∴sinC=32.∵△ABC是锐角三角形,∴C=π3.(2)∵C=π3,△ABC的面积为332,∴12absinπ3=332,即ab=6.①∵c=7,∴由余弦定理得a2+b2-2abcosπ3=7,即(a+b)2=3ab+7.②将①代入②得(a+b)2=25,故a+b=5.3.解(1)∵2c-a=2bcosA,∴由正弦定理可得2sinC-sinA=2sinBcosA,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴2sinAcosB+2cosAsinB-sinA=2sinBcosA.∴2sinAcosB=sinA.∵sinA≠0,∴cosB=12,∴B=π3.(2)∵b2=a2+c2-2accosB,∴7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去),∴c=3.4.解(1)∵asinC=3ccosA,∴sinAsinC=3sinCcosA,∵sinC>0,∴sinA=3cosA,则tanA=3,由0<A<π得A=π3.(2)∵b=2,A=π3,△ABC的面积为3,∴12bcsinA=3,则12×2×c×32=3,解得c=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=4+4-2×2×2×12=4,则a=2.5.解(1)由2c-ba=cosBcosA,则(2c-b)cosA=acosB,由正弦定理可知asinA=bsinB=csinC=2R,则a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB,整理得2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB,即2sinCcosA=sin(A+B)=sinC,由sinC≠0,则cosA=12,即A=π3,∴角A的大小为π3.(2)过点D作DE∥AC,交AB于点E,则△ADE中,ED=13AC=1,∠DEA=2π3,由余弦定理可知AD2=AE2+ED2-2AE·EDcosπ3,又AD=21,∴AE=4,∴AB=6.又AC=3,∠BAC=π3,则△ABC为直角三角形,∴a=BC=33,∴a的值为33.5\n6.解(1)由△ABC的面积为332=12bcsinA,可得12×2×3×sinA=332,可得sinA=32,又A为锐角,可得A=π3,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×cosπ3=7,解得a=7,可得cos∠ABC=a2+c2-b22ac=(7)2+32-222×7×3=277.(2)由AC=2CD,知CD=1,由△ABD为正三角形,即BD=3,且sin∠ABC=1-cos2∠ABC=217,cosθ=cosπ3-∠ABC=cosπ3cos∠ABC+sinπ3sin∠ABC=12×277+32×217=5714,∴cos2θ=2cos2θ-1=1114.7.解(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R可得2RsinA=3×2RsinBcosC.∵A+B+C=π,∴sinA=sin(B+C)=3sinBcosC,即sinBcosC+cosBsinC=3sinBcosC.∴cosBsinC=2sinBcosC,∴cosBsinCsinBcosC=2,故tanCtanB=2.(2)(方法一)由A+B+C=π,得tan(B+C)=tan(π-A)=-3,即tanB+tanC1-tanB·tanC=-3,将tanC=2tanB代入得3tanB1-2tan2B=-3,解得tanB=1或tanB=-12,根据tanC=2tanB得tanC,tanB同正,∴tanB=1,tanC=2.又tanA=3,可得sinB=22,sinC=255,sinA=31010,代入正弦定理可得331010=b22,∴b=5,∴S△ABC=12absinC=12×3×5×255=3.(方法二)由A+B+C=π得tan(B+C)=tan(π-A)=-3,即tanB+tanC1-tanB·tanC=-3,将tanC=2tanB代入得3tanB1-2tan2B=-3,解得tanB=1或tanB=-12,根据tanC=2tanB得tanC,tanB同正,∴tanB=1,tanC=2.又a=3bcosC=3,∴bcosC=1,∴abcosC=3.∴abcosCtanC=6.∴S△ABC=12absinC=12×6=3.8.解(1)由2acosC-c=2b及正弦定理得2sinAcosC-sinC=2sinB,2sinAcosC-sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC,∴-sinC=2cosAsinC,∵sinC≠0,∴cosA=-12,5\n又A∈(0,π),∴A=2π3.(2)在△ABD中,c=2,角B的平分线BD=3,由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsinA,∴sin∠ADB=ABsinABD=2×323=22,由A=2π3,得∠ADB=π4,∴∠ABC=2π-2π3-π4=π6,∴∠ACB=π-2π3-π6=π6,AC=AB=2.由余弦定理得a2=BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=2+2-2×2×2×-12=6,∴a=6.5
