题型专项训练9 解析几何(解答题专项)1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|=8.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求的最小值.2.(2022浙江嘉兴平湖当湖中学期中)如图,设椭圆C1:=1(a>b>0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合,且椭圆C1的离心率是(1)求椭圆C1的标准方程;(2)过F作直线l交抛物线C2于A,B两点,过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C,求△ABC面积的最小值以及取到最小值时直线l的方程.3.如图,O为坐标原点,点F为抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点,且抛物线C1上点M处的切线与圆C2:x2+y2=1相切于点Q.(1)当直线MQ的方程斜率为1时,求抛物线C1的方程;(2)当正数p变化时,记S1,S2分别为△FMQ,△FOQ的面积,求的最小值.4.(2022浙江绍兴柯桥区高三下学期期中)已知椭圆C:=1,点A(3,0),P是椭圆C上的动点.(1)若直线AP与椭圆C相切,求点P的坐标;(2)若P在y轴的右侧,以AP为底边的等腰三角形ABP的顶点B在y轴上,求四边形OPAB面积的最小值.4\n5.如图,椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为,上、下顶点为A,B,点P(0,2)关于直线y=-x的对称点在椭圆M上,过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C,D(C在线段PD之间).(1)求椭圆M的方程;(2)求的取值范围;(3)当AD与BC相交于点Q时,试问:点Q的纵坐标是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.6.已知椭圆C:=1(0<n<2).(1)若椭圆C的离心率为,求n的值.(2)若过点N(-2,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,在x轴上是否存在点M,使得∠NMA+∠NMB=180°?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案题型专项训练9 解析几何(解答题专项)1.解(1)由题可知F,则该直线方程为y=x-,代入y2=2px(p>0),得x2-3px+=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1+x2=3p.∵|MN|=8,∴x1+x2+p=8,即3p+p=8,解得p=2,∴抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线l的方程为y=x+b,代入y2=4x,得x2+(2b-4)x+b2=0.∵l为抛物线C的切线,∴Δ=0,解得b=1.∴l的方程为y=x+1.设P(m,m+1),则=(x1-m,y1-(m+1)),=(x2-m,y2-(m+1)),∴=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)]=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2.由(1)可知x1+x2=6,x1x2=1,∴(y1y2)2=16x1x2=16,y1y2=-4.∵=4(x1-x2),∴y1+y2=4=4,4\n∴=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14,当且仅当m=2,即点P的坐标为(2,3)时,的最小值为-14.2.解(1)∵椭圆C1:=1(a>b>0)长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合,∴a=2,又∵椭圆C1的离心率是,∴c=⇒b=1,∴椭圆C1的标准方程为+y2=1.(2)过点F(2,0)的直线l的方程设为x=my+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y2-8my-16=0.∴y1+y2=8m,y1y2=-16,∴|AB|==8(m2+1).过F且与直线l垂直的直线设为y=-m(x-2),联立得(1+4m2)x2-16m2x+16m2-4=0,∴xC+2=⇒xC=.∴|CF|=|xC-xF|=.∴△ABC面积S=|AB|·|CF|=.令=t,则S=f(t)=,f'(t)=,令f'(t)=0,则t2=,即1+m2=时,△ABC面积最小.即当m=±时,△ABC面积的最小值为9,此时直线l的方程为x=±y+2.3.解(1)设点M,由x2=2py(p>0),得y=,求导得y'=,而直线MQ的斜率为1,所以=1,即x0=p,点M为,直线MQ为2y-2x+p=0,所以=1,又p>0,所以p=2.故抛物线C1的方程为x2=4y.(2)因为点M处的切线方程为y-,即2x0x-2py-=0,根据切线又与圆相切,得d=r,即=1,化简得=4+4p2,由方程组解得Q,所以|MQ|=|xM-xQ|=,点F到切线MQ的距离是d=,所以S1=|MQ|·d=,S2=|OF||xQ|=,而由=4+4p2知4p2=-4>0,得|x0|>2,所以=+3≥2+3,当且仅当时取等号,即=4+2,此时,p=,所以的最小值为3+2.4.解(1)设直线AP的斜率为k(k≠0),则直线AP:y=k(x-3),联立整理得(1+3k2)x2-18k2x+27k2-6=0,由直线AP与椭圆C相切,则Δ=(18k2)2-4·(1+3k2)(27k2-6)=0,解得k2=,则x2-4x+4=0,解得x=2,将x=2代入椭圆方程,解得y=±,∴P点坐标为.(2)设线段AP的中点为D.因为BA=BP,所以BD⊥AP.由题意知直线BD的斜率存在,设点P的坐标为(x0,y0)(y0≠0),则点D的坐标为,直线AP的斜率kAP=,∴直线BD的斜率kBD=-,故直线BD的方程为y-.4\n令x=0,得y=,故B.由=1,得=6-3,化简得B.因此,S四边形OPAB=S△OAP+S△OAB=×3·|y0|+×3·=×2=3.当且仅当2|y0|=,即y0=±∈[-]时等号成立.故四边形OPAB面积的最小值为3.5.解(1)由已知得a=2,又e=,故c=,b=1,椭圆M的方程为+y2=1.(2)①当直线l斜率不存在时,C(0,1),D(0,-1),=-1.②当直线斜率存在时,设直线l方程为y=kx+2,C(x1,y1),D(x2,y2),则消去y,得(1+4k2)x2+16kx+12=0,x1+x2=,x1x2=,Δ=(16k)2-48(1+4k2)=16(4k2-3)>0,则4k2>3,=x1x2+y1y2==-1+,又4k2>3,得-1<.综上可知,的取值范围是.(3)由题意得AD:y=x+1,BC:y=x-1,即AD:y=x+1,BC:y=x-1,联立方程组,消去x,解得y=,又4kx1x2=-3(x1+x2),得y=.所以点Q的纵坐标为定值.6.解(1)因为a2=2,b2=n,所以c2=2-n.又e=,所以,解得n=.(2)若存在点M,使得∠NMA+∠NMB=180°,则直线AM和BM的斜率存在,分别设为k1,k2,且满足k1+k2=0.依题意,直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=k.由x2+8k2x+8k2-2n=0.因为直线l与椭圆C有两个交点,所以Δ>0,即-4(2k2+n)(8k2-2n)>0,解得k2<.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1=k(x1+2),y2=k(x2+2).令k1+k2==0,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,(x1-m)k(x2+2)+(x2-m)k(x1+2)=0,当k≠0时,2x1x2-(m-2)(x1+x2)-4m=0,所以2·+(m-2)·-4m=0,化简得=0,所以m=-1.当k=0时,检验也成立.所以存在点M(-1,0),使得∠NMA+∠NMB=180°.4
