绝密★启用前2022年揭阳市高考“一模”试题数学（理科）本试卷共4页，21小题，总分值150分．考试用时l20分钟．本卷须知：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁,考试完毕后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知集合假设,那么为.A．B．C．D．2．设函数，，那么是A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数3．已知随机变量服从正态分布，那么=A．0.16B．0.32C．0.68D．4．数列是公差不为0的等差数列，且为等比数列的连续三项，那么数列的公比为A．B．4C．2D．5．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为1和2，那么有A．成角B．成角C．成角D．成角-10-/10\n6．已知函数，那么不等式组表示的平面区域为ABCDD7．一物体A以速度（的单位：s，的单位：m/s），在一直线上运动，在此直线上在物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方8m处以（的单位：s，的单位：m/s）的速度与A同向运动，设s后两物体相遇，那么的值为A．B．C．4D．58．平面内称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数图象上任意两个次整点作直线，那么倾斜角大于45°的直线条数为．A．10B．11C．12D．13二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分．（一）必做题（9－13题）9．已知函数的定义域为，集合，假设P：“”是Q：“”的充分不必要条件，那么实数的取值范围．10．双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，那么P点到左焦点的距离为．11．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如右图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），那么制作该工件用去的铁皮的面积为．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）12．已知函数那么＝．13．以以下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000.在样本中记月收入在，,的人数依次为、、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，那么样本的容量；图乙输出的．（用数字作答）图甲图乙-10-/10\n（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题)设直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系得另一直线的方程为，假设直线与间的距离为，那么实数的值为．15．（几何证明选做题）如图，已知是外一点，为的切线，为切点，割线PEF经过圆心，假设,那么的度数为．三．解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（此题总分值12分）已知复数,,且．（1）假设且，求的值；（2）设＝，已知当时，，试求的值．付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数40201017．（此题总分值12分）某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进展统计，统计结果如右表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元.用表示经销一辆汽车的利润.（1）求上表中的值；（2）假设以频率作为概率，求事件A:“购置该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率；（3）求的分布列及数学期望.18．（此题总分值14分）右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，平面，，且，（1）求证：BE//平面PDA；（2）假设N为线段的中点，求证：平面；（3）假设，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．19．（此题总分值14分）-10-/10\n已知如图，椭圆方程为.P为椭圆上的动点,F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知、，试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？假设存在，求出点Q的坐标，假设不存在，说明理由．20．（此题总分值14分）设函数（1）当时，求函数在上的最大值；（2）记函数，假设函数有零点，求的取值范围.21．（此题总分值14分）．已知：（）是方程的两根，且，.（1）求的值；（2）设，求证：；（3）求证：对有．揭阳市2022年高中毕业班第一次高考模拟考数学试题(理科)参考答案及评分说明1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准制订相应的评分细那么．2、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后续局部的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题：DBACACCB解析：1．由得，，应选D.2．，可知答案选B.-10-/10\n3．由正态分布的特征得＝，选A.4．设数列的公差为（），由得故，选C.5．由由知，成角，应选A.6.不等式组即或故其对应平面区域应为图C．7．依题意得，,选C.8．如图，设曲线的次整点分别为,过点倾斜角大于45°的直线有，过点的有,过点有、，过点有、、，过点有,过点的有,共11条，应选B.二、填空题：9.；10.13、；11.；12.；13．10000、6000；14.9或－11；15.30°.解析：9.，由右图易得.10．由得设左焦点为，右焦点为,那么，由双曲线的定义得：.11．该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的外表积12．由已知得13．∵月收入在的频率为，且有4000人∴样本的容量，由图乙知输出的=10000－4000=6000.14．将直线的方程化为普通方程得，将直线的方程化为直角坐标方程得，由两平行线的距离公式得或15．由切割线定理得-10-/10\n,,∵,∴,.三．解答题：16．解：（1）∵∴∴--------------------------------------2分假设那么得-----------------------------------------------4分∵∴或∴或------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）∵＝-----------------------------------------8分∵当时，∴，，------------------------------9分∵＝＝----------11分∴.------------------------------------------------------------12分17．解：（1）由得∵∴------------------------------------------------------2分（2）记分期付款的期数为，依题意得：,,,,------------------------------------------------------5分那么“购置该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率:＝-----------------------------------------------------------7分（3）∵的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）-----------------------------------------------------------------------------8分-----------------------------------------------------------9分----------------------------------------------10分∴的分布列为12P∴的数学期望(万元)-12分.18．解：（1）证明：∵，平面，平面∴EC//平面,同理可得BC//平面----------------------------------------------------------------------------------2分∵EC平面EBC,BC平面EBC且∴平面//平面---------------------------------------------------------------------------------3分-10-/10\n又∵BE平面EBC∴BE//平面PDA--------------------------------------------------------------4分（2）证法1：连结AC与BD交于点F,连结NF，∵F为BD的中点，∴且,--------------------------6分又且∴且∴四边形NFCE为平行四边形-------------------------7分∴∵,平面,面∴，又∴面∴面------------------------------------------------------------9分[证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，那么,--------------------------------6分∴,,∵,∴------------------------------------------------------------------------------------------8分∵、面，且∴面--------------------------------------------------------------------------------------------9分（3）解法1：连结DN，由（2）知面∴,∵，∴∴∴为平面PBE的法向量，设，那么∴=---11分∵为平面ABCD的法向量，，---------------------------------------------12分设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为，那么----------------------------------------------------------------13分∴即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°---------------------------------14分[解法2：延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB，-10-/10\n那么GB为平面PBE与ABCD的交线------------------------------------------------------------------10分∵∴∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，∴-------------------11分∵平面,面∴且∴面∵面∴∴为平面PBE与平面ABCD所成的二面角的平面角-------------------------------------------------------------------------------------13分在中∵∴＝45°即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°----------------------------14分其它解法请参照给分19．解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N,连结OM，∵,∴≌∴M是线段的中点，|----------------------------------------------------2分∴===∵点P在椭圆上∴＝∴＝4，----------------------4分当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：.----------------------6分（2）连结OE，易知轨迹T上有两个点A，B满足,分别过A、B作直线OE的两条平行线、.∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线、分-10-/10\n∵∴直线、的方程分别为：、-------------------8分设点（）∵在轨迹T内，∴--------------------------------9分分别解与得与--------------------------------------------------------------------11分∵∴为偶数，在上对应的在上，对应的------------------------------------------------13分∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：．-----------------------------------------------------14分20．解：（1）当时，＝∴当时，-----------------------------------------------------------------2分当时，＝∵函数在上单调递增∴------------------------------4分由得又∴当时，，当时，.----------6分（2）函数有零点即方程有解即有解-------------------------------------------------------------------------------7分令当时∵--------------------------------------------------------------------9分∴函数在上是增函数，∴---------------------------------------------10分当时，∵--------------------------------12分∴函数在上是减函数，∴-----------------------------------------13分∴方程有解时-10-/10\n即函数有零点时---------------------------------------------------------------------------14分21．解：（1）解方程得，，---------------------------------------------1分∴---------------------------------------------------------------------------------------------2分，∴，------------------------------------------------------------------------------------------3分,∴---------------------------------------------------------4分（2）由得即----------------------------------------------------------------6分当时，于是＝（）∴--------------------------------------------------------------------9分（3）当时，结论成立；------------------------------------------10分当时，有＝----------------------------------------12分∵∴＝∴对有----------------------------------------------14分-10-/10
