斜面上的动力学问题一、基本道具：粗糙水平面、斜面体（分光滑和粗糙两种情形）、物块（分有无初速度两种情形）二、问题基本特点：粗糙水平面上斜面体始终不动，而物块在斜面体上或静止或运动，求物块的加速度、运动时间、获得速度，物块与斜面体之间的相互作用或斜面体与水平面之间的相互作用等等。三、基本思路：分析各阶段物块和斜面体的受力情况，并确定物块和斜面体的运动性质（由合外力和初速度共同决定，即动力学观点）四、典型事例：（一）斜面体的斜面光滑（即μ=0）1．物块的初速度为零（即v0=0）θ例1．如图所示，倾角为θ的斜面体质量为M，斜面光滑、长为L，始终静止在粗糙的水平面上，有一质量为m的物块由静止开始从斜面顶端沿斜面加速下滑，在物块下滑过程中，求：（1）分别画出物块和斜面体的受力示意图；（2）物块的加速度、到达斜面底端的时间和速度；（3）斜面体受到水平面的支持力和摩擦力。θbABCD变式1．如图所示，如果物块是沿几个倾角不同而底面长均为b的光滑斜面由静止开始从斜面顶端沿斜面加速下滑，试比较物块下滑的加速度大小、到达斜面底端的时间长短和速度大小。22
BACEDO●Rα变式2．如图所示，如果物块是沿同一个半径为R的圆内几个倾角不同的弦为光滑斜面由静止开始从斜面顶端沿斜面加速下滑，试比较物块下滑的加速度大小、到达斜面底端的时间长短和速度大小。拓展2．倾角为θ的斜面体质量为M，斜面光滑、长为L，始终静止在粗糙的水平面上，有一质量为m的物块由静止开始从斜面顶端沿斜面加速下滑，在物块下滑过程中，给物块施加一个竖直向下的恒力F，如图所示。求：（1）分别画出物块和斜面体的受力示意图；（2）物块的加速度、到达斜面底端的时间和速度；（3）斜面体受到水平面的支持力和摩擦力。θF22
θ变式3．倾角为θ的斜面体质量为M，斜面光滑、长为L，始终静止在粗糙的水平面上，有一质量为m的物块由静止开始从斜面顶端沿斜面加速下滑，在物块下滑过程中，给物块上表面黏上一质量为△m的橡皮泥，如图所示。求：（1）分别画出物块（含橡皮泥）和斜面体的受力示意图；（2）物块（含橡皮泥）的加速度、到达斜面底端的时间和速度；（3）斜面体受到水平面的支持力和摩擦力。变式4．倾角为θ的斜面体质量为M，斜面光滑、长为L，始终静止在粗糙的水平面上，有一质量为m的物块由静止开始从斜面顶端沿斜面加速下滑，在物块下滑过程中，给物块施加一个垂直斜面向下的恒力F，如图所示。求：Fθ（1）分别画出物块和斜面体的受力示意图；（2）物块的加速度、到达斜面底端的时间和速度；（3）斜面体受到水平面的支持力和摩擦力。2．物块的初速度不为零（即v0≠0）θv0例2．如图所示，倾角为θ的斜面体质量为M，斜面光滑、足够长，始终静止在粗糙的水平面上，有一质量为m的物块以一定的初速度v0从斜面底端冲上斜面，物块在斜面上滑动过程中，求：（1）分别画出物块和斜面体的受力示意图；（2）物块的加速度、到达斜面底端的时间和速度；（3）斜面体受到水平面的支持力和摩擦力。22
（二）斜面体的斜面粗糙（即μ≠0）（下列各种情况中均近似认为滑动摩擦力等于最大静摩擦力）1．物块的初速度为零（即v0=0）θ例3．如图所示，倾角为θ的斜面体质量为M，斜面长为L，始终静止在粗糙的水平面上，有一质量为m的物块放在斜面上，已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ≥tanθ，求：（1）分别画出物块和斜面体的受力示意图；（2）物块的运动性质和加速度；（3）斜面体受到水平面的支持力和摩擦力。θF拓展3．在例3中如果给物块施加一个竖直向下的恒力F，而其它条件不变，如图所示，则情况如何？θ变式5．在例3中如果给物块上表面黏上一质量为△m的橡皮泥，而其它条件不变，如图所示，则情况如何？22
Fθ变式6．在例3中如果给物块施加一个垂直斜面向下的恒力F，而其它条件不变，如图所示，则情况如何？思考与讨论：（1）在例3中若给物块施加一个平行于斜面的力F，为了使物块能沿斜面向下滑动，则力F至少为多大？为了使物块能沿斜面向上滑动，则力F至少为多大？（2）在例3中若给物块施加一个水平向右的力F，物块能否实现“自锁现象”。若能，试说明理由；若不能，试分析物块的运动性质，并求出加速度a及力F应满足的条件。例4．如图所示，倾角为θ的斜面体质量为M，斜面长为L，始终静止在粗糙的水平面上，有一质量为m的物块轻放在斜面顶端，已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ，求：θ（1）分别画出物块和斜面体的受力示意图；（2）物块的运动性质和加速度；（3）斜面体受到水平面的支持力和摩擦力。拓展4．在例4中如果给物块施加一个竖直向下的恒力F，而其它条件不变，如图所示，则情况如何？θF22
θ变式7．在例4中如果给物块上表面黏上一质量为△m的橡皮泥，而其它条件不变，如图所示，则情况如何？Fθ变式8．在例4中如果在物块由静止释放的同时给物块施加一个垂直斜面向下的恒力F，而其它条件不变，如图所示，则情况如何？思考与讨论：（3）在例4中若给物块施加一个平行于斜面向上的力F，为了使物块能沿斜面向上滑动，则力F至少为多大？（4）在例4中若给物块施加一个水平向右的力F，试分析物块的运动性质，并求出加速度a及力F应满足的条件。2．物块的初速度不为零（即v0≠0）θv0例5．如图所示，倾角为θ的斜面体质量为M，斜面足够长，始终静止在粗糙的水平面上，有一质量为m的物块以一定的初速度v0从斜面底端冲上斜面，已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ≥tanθ，求：物块在斜面上滑动过程中，（1）分别画出物块和斜面体的受力示意图；（2）物块的运动性质和加速度；（3）斜面体受到水平面的支持力和摩擦力。22
变式9．在例5中如果μ＜tanθ，而其它条件不变，则情况如何？拓展5．在例5、变式9中，如果在物块沿斜面上滑过程，给物块施加一个竖直向下的恒力F，而其它条件不变，则情况如何？变式10．在例5、变式9中，如果在物块沿斜面上滑过程，给物块上表面黏上一质量为△m的橡皮泥，而其它条件不变，则情况如何？变式11．在例5、变式9中，如果在物块沿斜面上滑过程，给物块施加一个垂直斜面向下的恒力F，而其它条件不变，则情况如何？思考与讨论：（5）在例5、变式9中，若给物块施加一个平行于斜面向上的力F，为了使物块能沿斜面向上匀速滑动，则力F应为多大？（6）在例5、变式9中，若给物块施加一个水平向右的力F，试分析物块的运动性质，并求出加速度a及力F应满足的条件。θv0例6．如图所示，倾角为θ的斜面体质量为M，斜面足够长，始终静止在粗糙的水平面上，有一质量为m的物块以一定的初速度v0从斜面顶端沿斜面下滑，已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ＞tanθ，求：物块在斜面上滑动过程中，（1）分别画出物块和斜面体的受力示意图；（2）物块的运动性质和加速度；（3）斜面体受到水平面的支持力和摩擦力。思考与讨论：（7）在例6中若给物块施加一个平行于斜面向下的力F，为了使物块能沿斜面向下匀速滑动，则力F应为多大？变式12．在例6中如果μ=tanθ，而其它条件不变，则情况如何？22
变式13．在例6中如果μ＜tanθ，而其它条件不变，则情况如何？思考与讨论：（8）在变式13中，若给物块施加一个平行于斜面向上的力F，为了使物块能沿斜面向下匀速滑动，则力F应为多大？（9）在变式13中，若给物块施加一个水平向右的力F，试分析物块的运动性质，并求出加速度a及力F应满足的条件。拓展6．在例6、变式12和变式13中，如果在物块沿斜面下滑过程，给物块施加一个竖直向下的恒力F，而其它条件不变，则情况如何？变式14．在例6、变式12和变式13中，如果在物块沿斜面下滑过程，给物块上表面黏上一质量为△m的橡皮泥，而其它条件不变，则情况如何？变式15．在例6、变式12和变式13中，如过程，给物块施加一个垂直斜面向下的恒力F，而其它条件不变，则情况如何？22
N12mga甲N21MgNf乙答案例1．解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图甲、乙所示（2）根据牛顿第二定律，物块的加速度a=mgsinθ/m=gsinθ方向沿斜面向下由运动学公式s=at2/2和v2=2as得物块到达斜面底端的时间速度方向沿斜面向下（3）根据牛顿第三定律及平衡条件有：N21=N12=mgcosθ斜面体受到水平面的支持力N=Mg+N21cosθ=Mg+mgcos2θ方向竖直向上摩擦力f=N21sinθ=mgsinθcosθ方向水平向左拓展1．解析：由例1（2）的解答结果可知物块的加速度a=mgsinθ/m=gsinθ倾角θ越大，a越大。当θ=900时，a有最大值amax=g.物块到达斜面底端的时间倾角θ越大，t越短。当θ=900时，t有最小值.物块到达斜面底端的速度大小与θ无关。变式1．解析：由例1（2）的解答结果可知物块的加速度a=mgsinθ/m=gsinθ倾角θ越大，a越大。当θ=900时，a有最大值amax=g.物块到达斜面底端的时间倾角θ从逐渐增大到900过程中，t先变短后变长。当θ=450时，t有最小值.物块到达斜面底端的速度大小倾角θ越大，v越大。变式2．解析：由例1（2）的解答结果可知物块的加速度a=mgsinθ/m=gsinθ=gcosα斜面与竖直面之间的夹角α越小，倾角θ越大，a越大。当α=00时，a有最大值amax=g.物块到达斜面底端的时间22
与α或θ无关。物块到达斜面底端的速度大小斜面与竖直面之间的夹角α越小，倾角θ越大，v越大。当α=00时，v有最大值。拓展2．N21MgNf拓2乙拓2甲N12mgaF解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图拓2甲、拓2乙所示（2）根据牛顿第二定律，物块的加速度a=（mg+F）sinθ/m>gsinθ方向沿斜面向下由运动学公式s=at2/2和v2=2as得物块到达斜面底端的时间速度方向沿斜面向下（3）根据牛顿第三定律及平衡条件有：N21=N12=（mg+F）cosθ斜面体受到水平面的支持力N=Mg+N21cosθ=Mg+（mg+F）cos2θ方向竖直向上摩擦力f=N21sinθ=（mg+F）sinθcosθ方向水平向左变式3．N21MgNf变3乙变3甲N12（m+△m）ga解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图拓2甲、拓2乙所示（2）根据牛顿第二定律，物块的加速度a=（m+△m）gsinθ/（m+△m）=gsinθ方向沿斜面向下由运动学公式s=at2/2和v2=2as得物块到达斜面底端的时间速度方向沿斜面向下（3）根据牛顿第三定律及平衡条件有：N21=N12=（m+△m）gcosθ斜面体受到水平面的支持力N=Mg+N21cosθ=Mg+（m+△m）gcos2θ方向竖直向上22
摩擦力f=N21sinθ=（m+△m）gsinθcosθ方向水平向左变式4．解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图变4甲、变4乙所示变4乙N21MgNf变4甲mgaFN12（2）根据牛顿第二定律，物块的加速度a=mgsinθ/m=gsinθ方向沿斜面向下由运动学公式s=at2/2和v2=2as得物块到达斜面底端的时间速度方向沿斜面向下（3）根据牛顿第三定律及平衡条件有：N21=N12=mgcosθ+F斜面体受到水平面的支持力N=Mg+N21cosθ=Mg+（mgcosθ+F）cosθ方向竖直向上摩擦力f=N21sinθ=（mgcosθ+F）sinθ方向水平向左2．物块的初速度不为零（即v0≠0）例2．N12mga甲N21MgNf乙解：（1）无论是物块上滑还是下滑过程，物块和斜面体的受力示意图均与例1相同，分别如图甲、乙所示（2）物块上滑过程做匀减速运动，下滑过程做匀加速运动，加速度均与例1相同，a=mgsinθ/m=gsinθ方向沿斜面向下由运动学公式s=at2/2和v2=2as得t上+t下tv0v－v0t上丙O物块到达斜面底端的时间根据运动的对称性可知，物块到达斜面底端的速度v=v0方向沿斜面向下整个过程物块的速度随时间变化的关系图象如图丙所示（取沿斜面向上为正方向）（3）斜面体受到水平面的支持力N和摩擦力f均与例1相同（二）斜面体的斜面粗糙（即μ≠0）（下列各种情况中均近似认为滑动摩擦力等于最大静摩擦力）1．物块的初速度为零（即v0=0）例3．解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图甲、乙所示（2）已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ≥tanθ，说明22
物块与斜面之间的最大静摩擦力不小于物块所受重力mg沿斜面向下的分力，即fmax=μN21=μmgcosθ≥mgsinθ所以，物块在斜面上静止不动，加速度a=0（3）根据平衡条件，斜面对物块的支持力N12和静摩擦力f12的合力大小FNf=mg，方向竖直向上根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力N21和静摩擦力f21的合力大小F/Nf=mg，方向竖直向下根据平衡条件得：斜面体受到水平面的支持力N=F/Nf+Mg=mg+Mg摩擦力f=0拓展3．解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图拓3甲、拓3乙所示拓3乙Mgf21F/NfN21N拓3甲FNff12N12mgF（2）已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ≥tanθ，说明物块与斜面之间的最大静摩擦力不小于物块所受重力mg与恒力F的合力沿斜面向下的分力，即fmax=μN21=μ（mg+F）cosθ≥（mg+F）sinθ所以，物块在斜面上静止不动，加速度a=0这就是所谓的“自锁现象”。（3）根据平衡条件，斜面对物块的支持力N12和静摩擦力f12的合力大小FNf=mg+F，方向竖直向上根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力N21和静摩擦力f21的合力大小F/Nf=mg+F，方向竖直向下根据平衡条件可得：斜面体受到水平面的支持力N=F/Nf+Mg=mg+F+Mg摩擦力f=0变式5．解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图变5甲、变5乙所示（2）已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ≥tanθ，说明物块与斜面之间的最大静摩擦力不小于物块（含橡皮泥）所受重力（m+△m）g沿斜面向下的分力，即fmax=μN21=μ（m+△m）gcosθ≥（m+△m）gsinθ变5乙Mgf21F/NfN21N变5甲FNff12N12（m+△m）g所以，物块在斜面上静止不动，加速度a=0这也是所谓的“自锁现象”。（3）根据平衡条件，斜面对物块的支持力N12和静摩擦力f12的合力大小FNf=（m+△m）g，方向竖直向上根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力N21和静摩擦力f21的合力大小F/Nf=（m+△m）g，方向竖直向下根据平衡条件得：斜面体受到水平面的支持力N=F/Nf+Mg=（m+△m）g+Mg摩擦力f=0变式6．解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图变6甲、变6乙所示（2）已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ≥tanθ，说明物块与斜面之间的最大静摩擦力不小于物块所受重力mg沿斜面向下的分力，即22
变6甲FNff12N12Fmg变6乙Mgff21N21NF/Nffmax=μN21=μ（mgcosθ+F）≥mgsinθ所以，物块在斜面上静止不动，加速度a=0这还是所谓的“自锁现象”。（3）根据平行四边形定则，斜面对物块的支持力N12和静摩擦力f12的合力FNf方向偏向竖直向上左方根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力N21和静摩擦力f21的合力F/Nf方向偏向竖直向下右方（说明斜面体有相对水平面向右运动的趋势）方法（一）隔离法，结合受力示意图变6丙（m+M）gNFf根据平衡条件得：斜面体受到水平面的支持力N=mg+Mg+Fcosθ方向竖直向上摩擦力f=Fsinθ≠0方向水平向左方法（二）隔离法，利用正交分解根据平衡条件，对m：N12=mgcosθ+Ff12=mgsinθ对M：N=N21cosθ+f21sinθ+Mgf=N21sinθ－f21cosθ根据牛顿第三定律：N21=N12，f21=f12方向相反联立以上各式可得：支持力N=mg+Mg+Fcosθ方向竖直向上摩擦力f=Fsinθ≠0方向水平向左方法（三）整体法，结合受力示意图，利用正交分解对物块与斜面体的整体受力分析如图变6丙所示根据平衡条件得：支持力N=（m+M）g+Fcosθ方向竖直向上摩擦力f=Fsinθ≠0方向水平向左思考与讨论：（1）在例3中若给物块施加一个平行于斜面的力F，为了使物块能沿斜面向下滑动，则力F至少为多大？为了使物块能沿斜面向上滑动，则力F至少为多大？（2）在例3中若给物块施加一个水平向右的力F，物块能否实现“自锁现象”。若能，试说明理由；若不能，试分析物块的运动性质，并求出加速度a及力F应满足的条件。例4．解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图甲、乙所示（2）已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ，说明物块与斜面之间的最大静摩擦力小于物块所受重力mg沿斜面向下的分力，即fmax=μN12=μmgcosθ＜mgsinθ所以，物块在斜面上匀加速下滑，根据牛顿第二定律对m，垂直斜面方向N12=mgcosθ沿斜面方向mgsinθ－f12=ma又f12=μN12联立以上各式可得，加速度a=g（sinθ－μcosθ）方向沿斜面向下（3）根据平行四边形定则，斜面对物块的支持力N12和滑动摩擦力f12的合力FNf方向偏向竖直向上左方根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力N21和滑动摩擦力f21的合力F/Nf方向偏向竖直向下右方（说明斜面体有相对水平面向右运动的趋势）22
方法（一）隔离法，结合受力示意图根据平衡条件得：斜面体受到水平面的支持力N=Mg+mg－masinθ=Mg+mgcosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=macosθ=mgcosθ（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左方法（二）隔离法，利用正交分解丙（m+M）gNfmaymamax根据牛顿第二定律，对m：N12=mgcosθmgsinθ－f12=ma对M：N=Mg+N21cosθ+f21sinθf=N21sinθ－f21cosθ又f12=μN12根据牛顿第三定律：N21=N12，f21=f12方向相反联立以上各式得：支持力N=Mg+mgcosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=mgcosθ（sinθ－μcosθ）≠0果在物块沿斜面下滑方向水平向左方法（三）整体法，结合受力示意图，利用正交分解根据（2）问可知物块加速度a=g（sinθ－μcosθ）方向沿斜面向下对物块加速度a正交分解为ax和ay并对物块与斜面体的整体受力分析如图丙所示根据牛顿第二定律有：（m+M）g－N=may得支持力N=（m+M）g－masinθ=Mg+mgcosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=max=macosθ=mgcosθ（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左拓展4．解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图拓4甲、拓4乙所示（2）已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ，说明物块与斜面之间的最大静摩擦力小于物块所受重力mg与恒力F的合力沿斜面向下的分力，即fmax=μN21=μ（mg+F）cosθ＜（mg+F）sinθF拓4甲amgFNfN12f12拓4乙MgF/Nfff21N21N所以，物块在斜面上匀加速下滑，根据牛顿第二定律对m，垂直斜面方向N12=（mg+F）cosθ沿斜面方向（mg+F）sinθ－f12=ma又f12=μN12联立以上各式可得，加速度方向沿斜面向下（3）根据平行四边形定则，斜面对物块的支持力N12和滑动摩擦力f12的合力FNf方向偏向竖直向上左方根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力N21和滑动摩擦力f21的合力F/Nf方向偏向竖直向下右方（说明斜面体有相对水平面向右运动的趋势）方法（一）隔离法，结合受力示意图根据平衡条件得：斜面体受到水平面的22
支持力N=Mg+mg+F－masinθ=Mg+（mg+F）cosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=macosθ=（mg+F）cosθ（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左方法（二）隔离法，利用正交分解拓4丙（m+M）gNfmaymamaxF根据牛顿第二定律，对m：N12=（mg+F）cosθ（mg+F）sinθ－f12=ma对M：N=Mg+N21cosθ+f21sinθf=N21sinθ－f21cosθ又f12=μN12根据牛顿第三定律：N21=N12，f21=f12方向相反联立以上各式可得：支持力N=Mg+（mg+F）cosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=（mg+F）cosθ（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左方法（三）整体法，结合受力示意图，利用正交分解根据（2）问可知物块加速度方向沿斜面向下对物块加速度a正交分解为ax和ay并对物块与斜面体的整体受力分析如图丙所示根据牛顿第二定律有：（m+M）g+F－N=may得支持力N=（m+M）g+F－masinθ=Mg+（mg+F）cosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=max=macosθ=（mg+F）cosθ（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左变式7．解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图变7甲、变7乙所示（m+△m）g变7甲aFNfN12f12变7乙MgF/Nfff21N21N（2）已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ，说明物块与斜面之间的最大静摩擦力小于物块（含橡皮泥）所受重力（m+△m）g沿斜面向下的分力，即fmax=μN21=μ（m+△m）gcosθ＜（m+△m）gsinθ所以，物块在斜面上匀加速下滑，根据牛顿第二定律对m，垂直斜面方向N12=（m+△m）gcosθ沿斜面方向（m+△m）gsinθ－f12=（m+△m）a又f12=μN12联立以上各式可得，加速度a=g（sinθ－μcosθ）方向沿斜面向下。（3）根据平行四边形定则，斜面对物块的支持力N12和滑动摩擦力f12的合力FNf方向偏向竖直向上左方根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力N21和滑动摩擦力f21的合力F/Nf方向偏向竖直向下右方（说明斜面体有相对水平面向右运动的趋势）方法（一）隔离法，结合受力示意图根据平衡条件得：斜面体受到水平面的22
支持力N=Mg+（m+△m）g－（m+△m）asinθ=Mg+（m+△m）gcosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=（m+△m）acosθ=（m+△m）gcosθ（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左方法（二）隔离法，利用正交分解根据牛顿第二定律，对m：N12=（m+△m）gcosθ（m+△m）gsinθ－f12=（m+△m）a对M：N=Mg+N21cosθ+f21sinθf=N21sinθ－f21cosθ又f12=μN12根据牛顿第三定律：N21=N12，f21=f12方向相反联立以上各式得：支持力N=Mg+（m+△m）gcosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=（m+△m）gcosθ（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左方法（三）整体法，结合受力示意图，利用正交分解根据（2）问可知物块加速度方向沿斜面向下变7丙（m+△m+M）gNf（m+△m）ay（m+△m）a（m+△m）ax对物块加速度a正交分解为ax和ay并对物块与斜面体的整体受力分析如图丙所示。根据牛顿第二定律有：（m+△m+M）g－N=（m+△m）ay得支持力N=（m+△m+M）g－（m+△m）asinθ=Mg+（m+△m）gcosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=（m+△m）ax=（m+△m）acosθ=（m+△m）gcosθ（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左变式8．解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图变8甲、变8乙所示（2）已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ，说明物块与斜面之间的最大静摩擦力可能不小于或小于物块所受重力mg沿斜面向下的分力，即变8甲FNff12N12Fmg变8乙Mgff21N21NF/Nffmax=μN21=μ（mgcosθ+F）≥或＜mgsinθ所以，物块在斜面上可能静止不动，加速度a=0；也可能匀加速下滑，根据牛顿第二定律对m，垂直斜面方向N12=（mg+F）cosθ沿斜面方向mgsinθ－f12=ma又f12=μN12联立以上各式可得，加速度方向沿斜面向下。22
（3）根据平行四边形定则，斜面对物块的支持力N12和静摩擦力f12或滑动摩擦力f12的合力FNf方向偏向竖直向上左方根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力N21和静摩擦力f21或滑动摩擦力f12的合力F/Nf方向偏向竖直向下右方（说明斜面体有相对水平面向右运动的趋势）方法（一）隔离法，结合受力示意图根据平衡条件得：当fmax=μN21=μ（mgcosθ+F）≥mgsinθ时斜面体受到水平面的支持力N=Mg+mg+Fcosθ方向竖直向上摩擦力f=Fsinθ≠0方向水平向左当fmax=μN21=μ（mgcosθ+F）＜mgsinθ时斜面体受到水平面的支持力N=Mg+mg+Fcosθ－masinθ=Mg+（mgcosθ+F）（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=Fsinθ+macosθ=（mgcosθ+F）（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左方法（二）隔离法，利用正交分解当fmax=μN21=μ（mgcosθ+F）≥mgsinθ时根据平衡条件，对m：N12=mgcosθ+F（静摩擦力）f12=mgsinθ对M：N=Mg+N21cosθ+f21sinθf=N21sinθ－f21cosθ根据牛顿第三定律：N21=N12，f21=f12方向相反联立以上各式得：支持力N=Mg+mg+Fcosθ方向竖直向上摩擦力f=Fsinθ≠0方向水平向左变8丙（m+M）gNFf当fmax=μN21=μ（mgcosθ+F）＜mgsinθ时根据牛顿第二定律，对m：N12=mgcosθ+F（滑动摩擦力）f12=μN12=μ（mgcosθ+F）对M：N=Mg+N21cosθ+f21sinθf=N21sinθ－f21cosθ根据牛顿第三定律：N21=N12，f21=f12方向相反联立以上各式得：支持力N=Mg+（mgcosθ+F）（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=（mgcosθ+F）（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左方法（三）整体法，结合受力示意图，利用正交分解变8丁（m+M）gNfmaymamaxF当fmax=μN21=μ（mgcosθ+F）≥mgsinθ时对物块与斜面体的整体受力分析如图变8丙所示根据平衡条件得：支持力N=（m+M）g+Fcosθ方向竖直向上摩擦力f=Fsinθ≠0方向水平向左当fmax=μN21=μ（mgcosθ+F）＜mgsinθ时根据（2）问可知物块加速度22
方向沿斜面向下对物块加速度a正交分解为ax和ay并对物块与斜面体的整体受力分析如图变8丁所示。根据牛顿第二定律有：（m+M）g+Fcosθ－N=mayf－Fsinθ=max得支持力NMg+（mgcosθ+F）（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=（mgcosθ+F）（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左2．物块的初速度不为零（即v0≠0）例5．解：（1）物块在斜面上滑动过程中，物块和斜面体的受力示意图分别如图甲、乙所示。最后物块静止在斜面上不动，物块和斜面体的受力示意图分别如图丙、丁所示（与例3相同）丙FNff12N12mg丁Mgf21F/NfN21Nf乙Mgf21N21Nv甲aN12mgf12（2）物块沿斜面匀减速上滑，根据牛顿第二定律对m，垂直斜面方向N12=mgcosθ沿斜面方向mgsinθ+f12=ma又f12=μN12联立以上各式可得，加速度大小a=g（sinθ+μcosθ）方向沿斜面向下当物块速度减小为零时，由于μ≥tanθ，说明物块与斜面之间的最大静摩擦力不小于物块所受重力mg沿斜面向下的分力，即fmax=μN21=μmgcosθ≥mgsinθ所以，物块最后静止在斜面上不动，加速度a=0（3）物块沿斜面匀减速上滑过程中，方法（一）隔离法，利用正交分解根据牛顿第二定律，对m：N12=mgcosθmgsinθ+f12=ma对M：N=Mg+N21cosθ－f21sinθf=N21sinθ+f21cosθ又f12=μN12根据牛顿第三定律：N21=N12，f21=f12方向相反联立以上各式可得：支持力N=Mg+mgcosθ（cosθ－μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=mgcosθ（sinθ+μcosθ）≠0方向水平向左22
方法（二）整体法，结合受力示意图，利用正交分解丙（m+M）gNfmaymamax根据（2）问可知物块加速度a=g（sinθ+μcosθ）方向沿斜面向下对物块加速度a正交分解为ax和ay并对物块与斜面体的整体受力分析如图丙所示根据牛顿第二定律有：（m+M）g－N=may得支持力N=（m+M）g－masinθ=Mg+mgcosθ（cosθ－μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=max=macosθ=mgcosθ（sinθ+μcosθ）≠0方向水平向左当物块最后静止在斜面上不动时，根据平衡条件可知，斜面对物块的支持力N12和静摩擦力f12的合力大小FNf=mg，方向竖直向上根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力N21和静摩擦力f21的合力大小F/Nf=mg，方向竖直向下根据平衡条件得：斜面体受到水平面的支持力N=F/Nf+Mg=mg+Mg方向竖直向上摩擦力f=0变式9．解：（1）物块先沿斜面向上滑动过程中，物块和斜面体的受力示意图分别如图变9甲、变9乙所示。然后沿斜面向下滑动过程中，物块和斜面体的受力示意图分别如图变9丙、变9丁所示（与例4相同）变9乙fMgf21N21Nmga1v变9甲N12f12v变9丙a2mgFNfN12f12变9丁MgF/Nfff21N21N（2）物块先沿斜面匀减速上滑，根据牛顿第二定律对m，垂直斜面方向N12=mgcosθ沿斜面方向mgsinθ+f12=ma1又f12=μN12联立以上各式可得，加速度大小a1=g（sinθ+μcosθ）方向沿斜面向下tt上+t下v0v－v0t上变9戊O由于μ＜tanθ，说明物块与斜面之间的最大静摩擦力小于物块所受重力mg沿斜面向下的分力，即fmax=μN21=μmgcosθ＜mgsinθ所以，当物块速度减小为零时，物块又沿斜面匀加速下滑，a2=g（sinθ－μcosθ）22
方向沿斜面向下（与例4相同，这里不再赘述）。整个过程物块的速度随时间变化的关系图象如图变9戊所示（取沿斜面向上为正方向）（3）物块先沿斜面匀减速上滑过程中，斜面体受到水平面的支持力N=（m+M）g－ma1sinθ=Mg+mgcosθ（cosθ－μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=ma1cosθ=mgcosθ（sinθ+μcosθ）≠0方向水平向左（与例5相同，这里不再赘述）。物块再沿斜面匀加速下滑过程中，斜面体受到水平面的支持力N=Mg+mg－ma2sinθ=Mg+mgcosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=ma2cosθ=mgcosθ（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左（与例4相同，这里不再赘述）。例6．解：（1）物块在斜面上滑动过程中，物块和斜面体的受力示意图分别如图甲、乙所示。最后物块静止在斜面上不动，物块和斜面体的受力示意图分别如图丙、丁所示（与例3相同）（2）物块先沿斜面匀减速下滑，根据牛顿第二定律对m，垂直斜面方向N12=mgcosθ沿斜面方向f12－mgsinθ=ma又f12=μN12丙FNff12N12mg丁Mgf21F/NfN21Nv0甲aN12mgf12ff21N21乙MgN联立以上各式可得，加速度大小a=g（μcosθ－sinθ）方向沿斜面向上由于μ＞tanθ，说明物块与斜面之间的最大静摩擦力大于物块所受重力mg沿斜面向下的分力，即fmax=μN21=μmgcosθ＞mgsinθ所以，当物块速度减小为零时，物块最后静止在斜面上不动，加速度a=0（与例5相同，这里不再赘述）。（3）物块沿斜面匀减速下滑过程中，方法（一）隔离法，利用正交分解根据牛顿第二定律，对m：N12=mgcosθf12－mgsinθ=ma对M：N=Mg+N21cosθ+f21sinθf=N21sinθ－f21cosθ又f12=μN12根据牛顿第三定律：N21=N12，f21=f12方向相反联立以上各式可得：支持力N=Mg+mgcosθ（cosθ+μsinθ）22
方向竖直向上摩擦力f=mgcosθ（μcosθ－sinθ）≠0方向水平向右方法（二）整体法，结合受力示意图，利用正交分解丙（m+M）gNfmaymamax根据（2）问可知物块加速度a=g（μcosθ－sinθ）方向沿斜面向下对物块加速度a正交分解为ax和ay并对物块与斜面体的整体受力分析如图丙所示根据牛顿第二定律有：N－（m+M）g=may得支持力N=（m+M）g+masinθ=Mg+mgcosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=max=macosθ=mgcosθ（μcosθ－sinθ）≠0方向水平向右当物块最后静止在斜面上不动时，根据平衡条件，斜面对物块的支持力N12和静摩擦力f12的合力大小FNf=mg，方向竖直向上根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力N21和静摩擦力f21的合力大小F/Nf=mg，方向竖直向下根据平衡条件得：斜面体受到水平面的支持力N=F/Nf+Mg=mg+Mg方向竖直向上摩擦力f=0变式12．变12甲FNff12N12mg变12乙Mgf21F/NfN21N解：（1）物块沿斜面滑动过程中，物块和斜面体的受力示意图分别如图变12甲、变12乙所示。（2）由于μ=tanθ，说明物块与斜面之间的滑动摩擦力等于物块所受重力mg沿斜面向下的分力，即f12=μN12=μmgcosθ=mgsinθ所以，物块在斜面上匀速下滑，加速度a=0。（3）物块沿斜面匀速下滑过程中，根据平衡条件，斜面对物块的支持力N12和滑动摩擦力f12的合力大小FNf=mg，方向竖直向上根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力N21和滑动摩擦力f21的合力大小F/Nf=mg，方向竖直向下根据平衡条件得：斜面体受到水平面的支持力N=F/Nf+Mg=mg+Mg摩擦力f=0变式13．mg变13甲aFNfN12f12变13乙MgF/Nfff21N21N解：（1）物块和斜面体的受力示意图分别如图变13甲、变13乙所示（2）已知物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ，说明物块与斜面之间的滑动摩擦力小于物块所受重力mg沿斜面向下的分力，即f12=μN12=μmgcosθ＜mgsinθ所以，物块在斜面上匀加速下滑，根据牛顿第二定律对m，垂直斜面方向N12=mgcosθ22
沿斜面方向mgsinθ－f12=ma又f12=μN12联立以上各式可得，加速度a=g（sinθ－μcosθ）方向沿斜面向下（与例4相同）（3）根据平行四边形定则，斜面对物块的支持力N12和滑动摩擦力f12的合力FNf方向偏向竖直向上左方根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力N21和滑动摩擦力f21的合力F/Nf方向偏向竖直向下右方（说明斜面体有相对水平面向右运动的趋势）方法（一）隔离法，结合受力示意图根据平衡条件可得：斜面体受到水平面的支持力N=Mg+mg－masinθ=Mg+mgcosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=macosθ=mgcosθ（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左方法（二）隔离法，利用正交分解根据牛顿第二定律，对m：N12=mgcosθmgsinθ－f12=ma对M：N=Mg+N21cosθ+f21sinθf=N21sinθ－f21cosθ又f12=μN12根据牛顿第三定律：N21=N12，f21=f12方向相反联立以上各式可得：支持力N=Mg+mgcosθ（cosθ+μsinθ）变13丙（m+M）gNfmaymamax方向竖直向上摩擦力f=mgcosθ（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左方法（三）整体法，结合受力示意图，利用正交分解根据（2）问可知物块加速度a=g（sinθ－μcosθ）方向沿斜面向下对物块加速度a正交分解为ax和ay并对物块与斜面体的整体受力分析如图变13丙所示根据牛顿第二定律有：（m+M）g－N=may得支持力N=（m+M）g－masinθ=Mg+mgcosθ（cosθ+μsinθ）方向竖直向上摩擦力f=max=macosθ=mgcosθ（sinθ－μcosθ）≠0方向水平向左22
