匀变速直线运动的几个重要推论一、两个重要速度1．位移中点速度：在匀变速直线运动中，某段位移内中间位置的瞬时速度v与这段位移的初、末速度v0和vt的关系为v＝理论推导：2．时间中点速度：做匀变速直线运动的物体在一段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内地的平均速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半。即v＝＝＝。公式推导过程：3．中间时刻的瞬时速度(v)与位移中点的瞬时速度(v)的比较1）在匀速直线运动中：速度时刻不变，v＝v。2）．在匀变速直线运动中：当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知v>v；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知v>v。（在vt图象中，速度图线与时间轴围成的面积表示位移）
二、逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xI＝aT2推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①在时间2T内的位移x2＝v02T＋a(2T)2②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度。三、初速度为零的匀加速直线运动的比例关系(1)由v＝at可得出：在1s时、2s时、3s时、…、ns时的速度之比为1∶2∶3∶…∶n。(2)由x＝at2可得出：在1s、2s、3s、…、ns内的位移之比为12∶22∶32∶…∶n2。(3)在第1s内、第2s内、第3s内、…、第ns内的位移之比为12∶(22－12)∶(32－22)∶…∶[n2－(n－1)2]＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。(4)由x＝at2得t＝，故通过位移1m、2m、3m、…nm所用时间之比为1∶∶∶…∶。(5)通过位移第1m、第2m、第3m、…、第nm所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。[例1] 光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是( )A．物体运动全过程中的平均速度是B．物体在时的瞬时速度为是C．物体运动到斜面中点时瞬时速度为是D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是[思路探究](1)匀变速直线运动中，中间时刻速度与初、末速度的关系是？提示：v＝(2)匀变速直线运动中，中间位置的速度与初、末速度的关系式是？
提示：v＝[解析] 全程的平均速度v＝＝，A正确；时，物体的速度等于全程的平均速度，B错误；若末速度为v，则＝，v＝，中间位置的速度v＝＝＝，C正确；设物体加速度为a，到达中间位置用时t′，则L＝at2，＝at′2，所以t′＝t，D正确，B错误。[答案] B[例2]滑雪者以某一初速度冲上斜面做匀减速直线运动，到达斜面顶端时的速度为零。已知滑雪者通过斜面中点时的速度为v，则滑雪者在斜面上的平均速度大小为( )A.vB．(＋1)vC.vD.v解析：选D 利用中间位置速度v＝这一推论得v＝，v0＝v，滑雪者在斜面上的平均速度＝＝v，D正确。[例3]物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4s内与第2s内的位移之差是4m，则可知( )A．第1s内的位移为2mB．第2s末的速度为4m/sC．物体运动的加速度为1m/s2D．物体在第5s内的平均速度为9m/s解析：选BD 设物体的加速度为a，第4s内的位移x4＝a×42－a×32＝a，第2s内位移x2＝a×22－a×12＝a，由题意可得4＝x4－x2＝2a，所以a＝2m/s2，C错误；第1s内的位移x1＝×2×12m＝1m，A错误；第2s末的速度v2＝2×2m/s＝4m/s，B正确；第5s内的位移x5＝×2×52m－×2×42m＝9m，所以平均速度为9m/s，D正确。[例4]汽车刹车后做匀减速直线运动，经过3s停止运动，那么汽车在先后连续相等的三个1s内通过的位移之比x1∶x2∶x3为( )A．1∶2∶3 B．5∶3∶1C．1∶4∶9D．3∶2∶1解析：
选B 刹车过程的逆过程是初速度为零的匀加速直线运动。根据初速度为零的匀加速直线运动的特点，该逆过程在三个连续1s内的位移之比为1∶3∶5，所以刹车过程在连续相等的三个1s内的位移之比为5∶3∶1。[例5]如图所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点。下列说法正确的是( )A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2B．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vDC．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2D．下滑全程的平均速度＝vB解析：选ACD 物体做初速度为零的匀加速直线运动。由v2＝2ax得v∝，A正确；同时vB－vA＝vB，vC－vB＝(－1)vB，vD－vC＝(－)vB，vE－vD＝(2－)vB，B错误；又由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故vB＝，D正确。[例6]一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24m和64m，每一个时间间隔为4s，求物体的初速度和末速度及其加速度。[思路探究](1)试分析并画出物体运动的草图？提示：画出该物体的运动过程如图所示，物体由A经B到C，其中B是中间时刻。(2)两段位移在时间上有什么特点？提示：两段位移在时间上相等且在先后连续。[解析] 方法一：基本公式法由位移公式得：x1＝vAT＋aT2x2＝vA·2T＋a(2T)2－vC＝vA＋a·2T将x1＝24m，x2＝64m，T＝4s代入，解得a＝2.5m/s2，vA＝1m/s，vC＝21m/s方法二：用平均速度公式法连续两段时间T内的平均速度分别为：1＝＝m/s＝6m/s2＝＝m/s＝16m/s由于B是A、C的中间时刻，则
1＝，2＝又vB＝＝＝m/s＝11m/s解得vA＝1m/s，vC＝21m/s其加速度a＝＝m/s2＝2.5m/s2方法三：用逐差法由Δx＝aT2可得a＝＝m/s2＝2.5m/s2①又x1＝vAT＋aT2②vC＝vA＋a·2T③由①②③解得vA＝1m/s，vC＝21m/s[答案] 1m/s 21m/s 2.5m/s2[总结提能]1．物体做直线运动，在t时间内通过的位移为x，在中间位置处的速度为v1，在中间时刻处的速度为v2，则v1和v2的关系错误的是( )A．当物体做匀加速直线运动，v1>v2B．当物体做匀减速直线运动时，v1>v2C．当物体做匀速直线运动时，v1＝v2D．当物体做匀减速直线运动时，v1<v22．一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有( )
A．物体经过AB位移中点的速度大小为B．物体经过AB位移中点的速度大小为C．物体通过AB这段位移的平均速度为D．物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为3．从静止开始做匀加速直线运动的物体，0～10s的位移是10m，那么在10～20s的位移是( )A．20mB．30mC．40mD．60m解析： 当t＝10s时，Δx＝a(2t)2－at2＝at2＝at2·3＝10×3m＝30m.答案： B4．有一列火车正在做匀加速直线运动．从某时刻开始计时，第1min内发现火车前进了180m，第6min内发现火车前进了360m．火车的加速度为( )A．0.01m/s2B．0.05m/s2C．36m/s2D．180m/s2解析： 对于匀变速直线运动在连续相等时间内，位移之差为恒量，即Δx＝aT2，在本题中时间T为60s，x1＝180m，x6＝360m，则由x6－x1＝5aT2，解得a＝0.01m/s2.答案：A5．竖直升空的火箭，其速度—时间图象如图所示，由图可知以下说法正确的是( )A．火箭在40s时速度方向发生变化B．火箭上升的最大高度为48000mC．火箭经过120s落回地面
D．火箭经过40s到达最高点解析： 火箭在40s时速度方向没有发生变化，一直沿正方向向上运动，故选项A错误；火箭上升的最大高度h＝×120s×800m/s＝48000m，故选项B正确；火箭经过120s上升到最大高度，故选项C、D错误．答案： B6．完全相同的3块木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速直线运动，且穿过第3块木块后子弹的速度恰好为零，则子弹依次射入每块木块时的速度之比和穿过每块木块所用的时间之比分别是( )A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1B．v1∶v2∶v3＝∶∶1C．t1′∶t2′∶t3′＝1∶∶D．t1′∶t2′∶t3′＝(－)∶(－1)∶1解析： 采用逆向转换，将子弹的匀减速直线运动看作反向的初速度为零的匀加速直线运动，可得v1∶v2∶v3＝∶∶＝∶∶1，选项A错误，B正确；t1′∶t2′∶t3′＝(－)∶(－1)∶1，选项C错误，D正确．答案： BD7．一个做匀加速直线运动的物体，先后经过相距为x的A、B两点时的速度分别为v和7v，从A到B的运动时间为t，则下列说法不正确的是( )A．经过AB中点的速度为4vB．经过AB中间时刻的速度为4vC．通过前位移所需时间是通过后位移所需时间的2倍D．前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt解析： 由匀变速直线运动的规律得，物体经过AB中点的速度为v＝＝5v，A错误；物体经过AB中间时刻的速度为v＝＝4v，B正确；通过前位移所需时间t1＝＝，通过后位移所需时间t2＝＝，C正确；前时间通过的位移x1＝×＝vt，后时间通过的位移x2＝×＝vt，Δx＝x2－x1＝1.5vt，D正确．答案： A8．物体自O点由静止开始作匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2m，BC＝3m，CD＝4m．且物体通过AB、BC、CD所用时间相等，则OA
之间的距离为( )A．1mB．0.5mC.mD．1.2m解析：设物体的加速度为a，物体从O到A的时间为t1，从A到B的时间为T，由Δx＝aT2得Δx＝xBC－xAB，则有aT2＝1，由运动学公式有xOA＝at，xOB＝at1T＋aT2＝xOA＋2，联立以上各式at1T＝，＝，则有xOA＝at＝a2＝aT2＝m．故选项C正确．答案：C9．汽车刹车后做匀减速直线运动，经3s后停止运动，那么，汽车在这连续的三个1s初的速度之比和连续的三个1s内汽车通过的位移之比分别为( )A．v1v2v3＝321B．v1v2v3＝C．x1x2x3＝321D．x1x2x3＝531答案：AD解析：将汽车的运动逆向分析，看成初速度为零的匀加速运动，可求得连续三个1s初的速度之比为321，连续三个1s内位移之比为531。10．滑雪者以某一初速度冲上斜面做匀减速直线运动(如图)，到达斜面顶端时的速度为零。已知滑块通过斜面中点时的速度为v，则滑块在前一半路程中的平均速度大小为( )A.vB．(＋1)vC.vD.v答案：A解析：由题意知：v＝2aL①v2＝2a②＝③由①②③解得＝v，所以A项正确。11．一个物体沿着斜面从静止滑下做匀变速直线运动．已知它前2
s内的位移为3m，则它在第四个2s内的位移是( )A．14mB．21mC．24mD．48m【解析】 前2s内的位移x1与第四个2s内的位移x2之比x1∶x2＝1∶(2×4－1)＝1∶7，因为x1＝3m，所以x2＝21m，B对．【答案】 B12．从静止开始做匀加速直线运动的物体,在第1s内、第2s内、第3s内的平均速度之比为( )A.1∶3∶5B.1∶4∶9C.1∶2∶3D.1∶解析:由于第1s内、第2s内、第3s内的位移之比x1∶x2∶x3=1∶3∶5,而平均速度v=,且三段时间都是1s,故三段时间内的平均速度之比为1∶3∶5,故选项A正确。答案:A13．.(多选)一个物体从静止开始做匀加速直线运动,它走完第1m所用时间为t1,走完第2m所用时间为t2,走完第1m时的速度和走完第2m时的速度分别为v1和v2,则下列关系正确的是( )A.t1∶t2=1∶B.t1∶t2=1∶(-1)C.v1∶v2=1∶2D.v1∶v2=1∶解析:由x=at2可得t1∶t2=∶()=1∶(-1),选项B对,选项A错;由v2-=2ax,可得v1∶v2=1∶,选项D对,选项C错。答案:BD14．如图所示,在水平面上固定着三个完全相同的木块,一子弹以水平速度v射入木块,若子弹在木块中做匀减速直线运动,当穿透第三个木块时速度恰好为零,则子弹依次射入每个木块时的速度比和穿过每个木块所用时间比正确的是( )A.v1∶v2∶v3=3∶2∶1B.v1∶v2∶v3=∶1C.t1∶t2∶t3=1∶D.t1∶t2∶t3=()∶(-1)∶1解析:子弹依次射入每块木块做匀减速直线运动直至速度为0,采用逆向思维,子弹向左做匀加速直线运动,初速度为零,设每个木块长为L,则=2a·L,=2a·2L,=2a·3L,v3、v2、v1分别为子弹向左穿透第3个木块后、穿透第2个木块后、穿透第1个木块后的速度,则v1∶v2∶v3=
∶1。子弹依次向右射入每个木块时速度比v1∶v2∶v3=∶1,因此选项A、B错误;由v3=at3,v2=a(t2+t3),v1=a(t1+t2+t3),三式联立,得t1∶t2∶t3=()∶(-1)∶1,因此选项D正确。答案:D15．如图所示，物体以4m/s的速度自斜面底端A点滑上光滑斜面，途经斜面中点C，到达斜面最高点B.已知vA∶vC＝4∶3，从C点到B点历时(3－)s，试求：(1)物体到达斜面最高点的速度；(2)斜面的长度．解析： (1)由已知可知，vA∶vC＝4∶3，所以vc＝3m/s.又因为C点为AB中点，故vC＝.即v＋v＝2v，可得42＋v＝2×32，所以vB＝m/s.(2)由xBC＝t＝×(3－)m＝m得斜面长度x＝2xBC＝7m.答案： (1)m/s (2)7m1．一名观察者站在站台边,火车进站从他身边经过,火车共10节车厢,当第10节车厢完全经过他身边时,火车刚好停下。设火车做匀减速直线运动且每节车厢长度相同,则第8节和第9节车厢从他身边经过所用时间的比值为( )A.B.C.(-1)∶()D.()∶(-1)解析:运用逆向转化法,将火车的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动,根据初速度为零的做匀加速直线运动的物体通过连续相等位移所用时间之比,可知选项D正确。答案:D2．一个物体从静止开始做匀加速直线运动,它在第1s内与在第2s内位移之比为x1∶x2,在走完第1m时与走完第2m时的速度之比为v1∶v2,以下说法正确的是( )A.x1∶x2=1∶3,v1∶v2=1∶2B.x1∶x2=1∶3,v1∶v2=1∶
C.x1∶x2=1∶4,v1∶v2=1∶2D.x1∶x2=1∶4,v1∶v2=1∶解析:从静止开始的匀加速直线运动第1s内、第2s内、第3s内位移之比为1∶3∶5。根据v2=2ax,走完第1m时与走完第2m时的速度之比v1∶v2=1∶,选项B正确。答案:B3．(多选)对于初速度为零的匀加速直线运动，以下说法正确的是( )A．物体在1s、3s、5s时的速度之比为1∶3∶5B．物体在1s、3s、5s内的位移之比为1∶3∶5C．物体经过1m、3m、5m时的速度之比为∶∶D．物体经过1m、3m、5m所用时间之比为∶∶【解析】 由v＝at得v∝t，故物体在1s、3s、5s时的速度之比为1∶3∶5，A对；由x＝at2得x∝t2，故物体在1s、3s、5s内的位移之比为12∶32∶52，B错；由v2＝2ax得v∝，故物体经过1m,3m、5m时的速度之比为∶∶，C对；由x＝at2得t∝，物体经过1m、3m、5m所用时间之比为∶∶，D对．【答案】 ACD4．做匀加速运动的列车出站时，车头经过站台某点O时的速度是1m/s，车尾经过O点时的速度是7m/s，则这列列车的中点经过O点时的速度为( )A．5m/sB．5.5m/sC．4m/sD．3.5m/s【解析】 以火车为参考系，设O点通过列车中点时的速度为v，有v2－v＝2a，v－v2＝2a，联立两式得v＝＝m/s＝5m/s，所以列车中点经过O点的速度为5m/s.故A正确，B、C、D错误．【答案】 A5．如图241所示，一冰壶以速度v
垂直进入两个矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)( )图241A．v1∶v2＝2∶1B．v1∶v2＝∶1C．t1∶t2＝1∶D．t1∶t2＝(－1)∶1【解析】 初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比为1∶(－1)，故所求时间之比为(－1)∶1，所以C错误，D正确；由v＝at可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶(－1)，则所求的速度之比为(－1)∶1，故A、B错误；故选D.【答案】 D6．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，设斜面足够长，最初3秒的位移为x1，第2个3秒内的位移为x2，且x2－x1＝1.8m．试求：(1)x1、x2分别为多大；(2)物体下滑的加速度；(3)6s末的速度．【解析】 由x2－x1＝at2知a＝＝m/s2＝0.2m/s2由x1＝at＝×0.2×9m＝0.9m及x2－x1＝1.8m知x2＝x1＋1.8＝2.7m.6s末的速度v＝at＝0.2×6m/s＝1.2m/s【答案】 (1)0.9m 2.7m(2)0.2m/s2 (3)1.2m/s
