题型练5 大题专项(三)统计与概率问题1.随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:年 份20222022202220222022时间代号t12345储蓄存款y/千亿元567810(1)求y关于t的回归方程t+;(2)用所求回归方程预测该地区2022年(t=8)的人民币储蓄存款.附:回归方程t+中,.2.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.7\n3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中为x1,x2,…,xn的平均数4.4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:min)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60min的学生称为“读书迷”,低于60min的学生称为“非读书迷”,7\n(1)求x的值并估计全校3000名学生中“读书迷”大概有多少?(将频率视为概率)(2)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关:非读书迷读书迷合计男15女45合计附K2=,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.8285.某校在一次期末数学测试中,为统计学生的考试情况,从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩,被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150分),将统计结果按如下方式分成八组:第一组[60,70),第二组[70,80),……,第八组:[130,140],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.(1)求第七组的频率,并完成频率分布直方图;(2)估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值);(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,求他们的分差大于10分的概率.7\n6.为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出的茎叶图如下图,记成绩不低于70分者为“成绩优良”.(1)分别计算甲、乙两班20个样本中化学分数前十的平均分,并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳;(2)甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,求这2人来自不同班级的概率;(3)由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附:K2=(n=a+b+c+d).独立性检验临界值表:P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.6357\n##题型练5 大题专项(三)统计与概率问题1.解(1)列表计算如下:itiyitiyi11515226412337921448163255102550∑153655120这里n=5,ti==3,yi==7.2.又ltt=-n=55-5×32=10,lty=tiyi-n=120-5×3×7.2=12,从而=1.2,=7.2-1.2×3=3.6,故所求回归方程为=1.2t+3.6.(2)将t=8代入回归方程可预测该地区2022年的人民币储蓄存款为=1.2×8+3.6=13.2(千亿元).2.解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的基本事件数共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=.事件C包含的基本事件数共5个,7\n即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=.因为,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.3.解(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是8,8,9,10,所以平均数为.方差为s2=.(2)记甲组四名同学为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;乙组四名同学为B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),用C表示:“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C中的结果有4个,它们是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概率为P(C)=.4.解(1)由已知可得:(0.01+0.02+0.03+x+0.015)×10=1,可得x=0.025.因为(0.025+0.015)×10=0.4,将频率视为概率,由此可以估算出全校3000名学生中“读书迷”大概有1200人.(2)完成下面的2×2列联表如下:非读书迷读书迷合计男401555女202545合计6040100K2=≈8.249.由8.249>6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关.5.解(1)由频率分布直方图知第七组的频率f7=1-(0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+0.004)×10=0.08.频率分布直方图如图.(2)估计该校的2000名学生这次考试的平均成绩为65×0.04+75×0.12+85×0.16+95×0.3+105×0.2+115×0.06+125×0.08+135×0.04=97(分).(3)第六组有学生3人,分别记作A1,A2,A3,第八组有学生2人,分别记作B1,B2,则从中任取2人的所有基本事件为(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),共10个.分差大于10分表示所选2人来自不同组,其基本事件有6个:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),所以从中任意抽取2人,分差大于10分的概率P=.7\n6.解(1)甲班样本化学成绩前十的平均分为×(72+74+74+79+79+80+81+85+89+96)=80.9;乙班样本化学成绩前十的平均分为×(78+80+81+85+86+93+96+97+99+99)=89.4;甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十的平均分,大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳.(2)样本中成绩60分以下的学生中甲班有4人,记为a,b,c,d,乙班有2人,记为1,2.则从a,b,c,d,1,2六个元素中任意选2个的所有基本事件如下:ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12,一共有15个基本事件,设A表示“这2人来自不同班级”有如下:a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,一共有8个基本事件,所以P(A)=.(3)甲班乙班总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040根据2×2列联表中的数据,得K2的观测值为k=≈3.956>3.841,∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.7
