题型练6 大题专项(四)立体几何综合问题1.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求证:PC⊥AB;(2)求点C到平面APB的距离.2.如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.3.7\n已知PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,BA⊥AD,CD=AD=AP=4,AB=2.(1)求证:CD⊥平面ADP;(2)若M为线段PC上的点,当BM⊥PC时,求三棱锥B-APM的体积.4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面ABC,D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF∥平面BDC1;(2)求三棱锥D-BEC1的体积.7\n5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AC,过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处).(1)求证:平面PAB⊥平面PBC.(2)若PC⊥平面AEFG,求的值.(3)直线AE是否可能与平面PCD平行?证明你的结论.7\n##题型练6 大题专项(四)立体几何综合问题7\n1.(1)证明取AB的中点D,连接PD,CD.∵AP=BP,∴PD⊥AB.∵AC=BC,∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD.∵PC⊂平面PCD,∴PC⊥AB.(2)解由(1)知AB⊥平面PCD,∴平面APB⊥平面PCD.过C作CH⊥PD,垂足为H.∵平面APB∩平面PCD=PD,∴CH⊥平面APB.∴CH的长即为点C到平面APB的距离.由(1)知PC⊥AB,又PC⊥AC,且AB∩AC=A,∴PC⊥平面ABC.∵CD⊂平面ABC,∴PC⊥CD.在Rt△PCD中,CD=AB=,PD=PB=,∴PC==2.CH=,∴点C到平面APB的距离为.2.(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)解在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC.因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=CG.由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=×2×2×2=.7\n3.(1)证明因为PA⊥平面ABCD,PA⊂平面ADP,所以平面ADP⊥平面ABCD.因为平面ADP∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,所以CD⊥平面ADP.(2)解取CD的中点F,连接BF,在梯形ABCD中,因为CD=4,AB=2,所以BF⊥CD.又BF=AD=4,所以BC=2.在△ABP中,由勾股定理求得BP=2.所以BC=BP.又知点M在线段PC上,且BM⊥PC,所以点M为PC的中点.在平面PCD中过点M作MQ∥DC交DP于Q,连接QB,QA,则V三棱锥B-APM=V三棱锥M-APB=V三棱锥Q-APB=V三棱锥B-APQ=×2=×2×2.4.(1)证明设O为AB的中点,连接A1O,∵AF=AB,O为AB的中点,∴F为AO的中点.又E为AA1的中点,∴EF∥A1O.∵D为A1B1的中点,O为AB的中点,∴A1D=OB.又A1D∥OB,∴四边形A1DBO为平行四边形.∴A1O∥BD.又EF∥A1O,∴EF∥BD.又EF⊄平面DBC1,BD⊂平面DBC1,∴EF∥平面DBC1.(2)解∵AB=BC=CA=AA1=2,D,E分别为A1B1,AA1的中点,AF=AB,∴C1D⊥平面ABB1A1.而,S△BDE=-S△ABE-=2×2-×2×1-×2×1-×1×1=.∵C1D=,∴S△BDE·C1D=.5.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.7\n又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.6.(1)证明因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥BC,所以BC⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PBC.(2)解连接AF.因为PC⊥平面AEFG,所以PC⊥AF.又因为PA=AC,所以F是PC的中点.所以.(3)解AE与平面PCD不可能平行.证明如下:假设AE∥平面PCD,因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,所以AB∥平面PCD.而AE,AB⊂平面PAB,所以平面PAB∥平面PCD,这显然矛盾.所以假设不成立,即AE与平面PCD不可能平行.7
