思想方法训练4 转化与化归思想一、能力突破训练1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=⌀,则实数a的取值范围是( ) A.a>2B.a<-2C.a>2或a<-2D.-2<a<2答案：C解析：M∩N=⌀等价于方程组无解.把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0,①由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a)2-4×2×(a2-2)<0,由此解得a>2或a<-2.2.若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1,则b的取值范围是( )A.[-1,1]B.C.D.答案：D解析：由弦长不小于1可知圆心到直线的距离不大于,即≤,解得-≤b≤.3.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为( )A.B.[-1,0]C.[0,1]D.答案：A解析：设P(x0,y0),倾斜角为α,0≤tanα≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f'(x)=2x+2,0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-,故选A.4.设a=(sin17°+cos17°),b=2cos213°-1,c=,则a,b,c的大小关系是( )A.c<a<bB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a答案：A解析：∵a=sin(17°+45°)=sin62°,b=cos26°=sin64°,c=sin60°,∴c<a<b.5.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为( )A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案：A解析：设F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是减函数.又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x>1时,F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A.6.已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=( )A.-5B.-1C.3D.4答案：C解析：因为lg(log210)+lg(lg2)=lg(log210×lg2)=lg=lg1=0,所以lg(lg2)=-lg(log210).设lg(log210)=t,则lg(lg2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+bsint+4=5,所以at3+bsint=1,所以f(-t)=-at3-bsint+4=-1+4=3.7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=04\n的距离为1,则实数c的取值范围是 . 答案：(-13,13)解析：若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵d==,∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是 . 答案：(-∞,-5]解析：当x≥0时,f(x)=x2,此时函数f(x)单调递增.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴函数f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立.∵x∈[a,a+2],∴(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤-5,∴实数a的取值范围是(-∞,-5].9.若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)内总不为单调函数,求实数m的取值范围.解g'(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)内总为单调函数,则①g'(x)≥0在区间(t,3)内恒成立或②g'(x)≤0在区间(t,3)内恒成立.由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4≥-3x在x∈(t,3)内恒成立,∴m+4≥-3t恒成立,则m+4≥-1,即m≥-5;由②得m+4≤-3x在x∈(t,3)内恒成立,则m+4≤-9,即m≤-.故函数g(x)在区间(t,3)内总不为单调函数的m的取值范围为-<m<-5.10.已知函数f(x)=x3-2ax2-3x.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)已知对一切x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥lnx-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.解(1)由题意知当a=0时,f(x)=x3-3x,所以f'(x)=2x2-3.又f(3)=9,f'(3)=15,所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0.(2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥lnx,即a≥在x∈(0,+∞)时恒成立.设g(x)=,则g'(x)=,当0<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0,所以当x=时,g(x)取得最大值,且g(x)max=,故实数a的取值范围为.二、思维提升训练11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是( )A.B.C.D.答案：B解析：4\n显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.∴==sin∠PAB.设过A的直线AC与抛物线切于点C,则0<∠BAC≤∠PAB≤,∴sin∠BAC≤sin∠PAB.设切点为(x0,y0),则=4x0,又=y'=,解得∴C(1,2),|AC|=2.∴sin∠BAC==,∴的最小值为.故应选B.12.设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(+)·=0,O为坐标原点,且||=||,则该双曲线的离心率为( )A.+1B.C.+D.答案：A解析：如图,取F2P的中点M,则+=2.又由已知得2·=0,∴⊥.又OM为△F2F1P的中位线,∴⊥.在△PF1F2中,2a=||-||=(-1)||,由勾股定理,得2c=2||.∴e==+1.13.若函数f(x)=x2-ax+2在区间[0,1]上至少有一个零点,则实数a的取值范围是 . 答案：[3,+∞)解析：由题意,知关于x的方程x2-ax+2=0在[0,1]上有实数解.又易知x=0不是方程x2-ax+2=0的解,所以根据0<x≤1可将方程x2-ax+2=0变形为a==x+.从而问题转化为求函数g(x)=x+(0<x≤1)的值域.易知函数g(x)在区间(0,1]上单调递减,所以g(x)∈[3,+∞).故所求实数a的取值范围是a≥3.14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是 . 答案：(-4,0)4\n解析：将问题转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0的解集的子集求解.∵g(x)=2x-2<0,∴x<1.又∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,∴[1,+∞)是f(x)<0的解集的子集.又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0知m不可能大于等于0,因此m<0.当m<0时,f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3)>0,若2m=-m-3,即m=-1,此时f(x)<0的解集为{x|x≠-2},满足题意;若2m>-m-3,即-1<m<0,此时f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<-m-3},依题意2m<1,即-1<m<0;若2m<-m-3,即m<-1,此时f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>-m-3},依题意-m-3<1,m>-4,即-4<m<-1.综上可知,满足条件的m的取值范围是-4<m<0.15.已知函数f(x)=elnx,g(x)=f(x)-(x+1)(e=2.718……).(1)求函数g(x)的极大值;(2)求证:1+++…+>ln(n+1)(n∈N*).(1)解∵g(x)=f(x)-(x+1)=lnx-(x+1),∴g'(x)=-1(x>0).令g'(x)>0,解得0<x<1;令g'(x)<0,解得x>1.∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g(x)极大值=g(1)=-2.(2)证明由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,∴g(x)≤g(1)=-2,即lnx-(x+1)≤-2⇒lnx≤x-1(当且仅当x=1时等号成立).令t=x-1,得t≥ln(t+1),取t=(n∈N*),则>ln=ln,∴1>ln2,>ln,>ln,…,>ln,叠加得1+++…+>ln··…·=ln(n+1).4
