思想方法训练2 分类讨论思想一、能力突破训练1.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,2)B.(-∞,4)C.[2,4]D.(2,+∞)答案：B解析：当-<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是( )A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c2答案：B解析：在△ABC中,由余弦定理得cosA===,则A=.又b=a,由正弦定理,得sinB=sinA=,则B=或B=.当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.3.若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是( )A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q答案：C解析：当0<a<1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数,∴a3+1<a2+1.∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.综上可得p>q.4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为( )A.B.C.或D.或答案：C解析：当焦点在x轴上时,=,此时离心率e==;当焦点在y轴上时,=,此时离心率e==,故选C.5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,=λ·,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是( )A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线答案：C解析：不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C.6.若x>0,且x≠1,则函数y=lgx+logx10的值域为( )5\nA.RB.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案：D解析：当x>1时,y=lgx+logx10=lgx+≥2=2;当0<x<1时,y=lgx+logx10=-≤-2=-2.故函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).7.设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m等于( )A.6B.7C.8D.10答案：C解析：∵S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6.若公比q=1,显然有2S9≠S3+S6,因此q≠1,从而2=+,2q9-q6-q3=0,即2q6-q3-1=0,∴q3=-或q3=1(舍去).∵a2+a5=2am,∴a2(1+q3-2qm-2)=0,1+q3-2qm-2=0,∴qm-2=,∴m=8.8.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为( )A.30°B.60°C.30°或60°D.45°或60°答案：C解析：球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=,所以可得OA=2,SO'=3,SA与平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'==,得∠SAO'=60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.9.已知函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是 . 答案：或解析：当a>1时,y=ax在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当0<a<1时,y=ax在区间[1,2]上递减,故a-a2=,得a=.故a=或a=.10.已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为 . 答案：4解析：f(x)=g(x)=(1)当0<x≤1时,方程化为|-lnx+0|=1,解得x=或x=e(舍去).所以此时方程只有一个实根.(2)当1<x<2时,方程可化为|lnx+2-x2|=1.设h(x)=lnx+2-x2,h'(x)=-2x=.因为1<x<2,所以h'(x)=<0,即函数h(x)在区间(1,2)上单调递减.因为h(1)=ln1+2-12=1,h(2)=ln2+2-22=ln2-2,所以h(x)∈(ln2-2,1).又ln2-2<-1,故当1<x<2时方程只有一解.(3)当x≥2时,方程可化为|lnx+x2-6|=1.记函数p(x)=lnx+x2-6,显然p(x)在区间[2,+∞)上单调递增.故p(x)≥p(2)=ln2+22-6=ln2-2<-1.又p(3)=ln3+32-6=ln3+3>1,所以方程|p(x)|=1有两个解,即方程|lnx+x2-6|=1有两个解.综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.5\n11.已知函数f(x)=2asin2x-2asinxcosx+a+b(a≠0)的定义域为,值域为[-5,1],求常数a,b的值.解f(x)=a(1-cos2x)-asin2x+a+b=-2asin+2a+b.∵x∈,∴2x+∈,∴-≤sin≤1.因此,由f(x)的值域为[-5,1],可得或解得或12.设a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+lnx).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解(1)由已知x>0,f'(x)=x-(a+1)+.因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,所以f'(2)=1,即2-(a+1)+=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.(2)f'(x)=x-(a+1)+==.①当0<a<1时,若x∈(0,a),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(a,1),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+alna,极小值是f(1)=-.②当a=1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,若x=1,则f'(x)=0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.③当a>1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(1,a),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(a,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+alna.综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-a2+alna,极小值是-;当a=1时,f(x)无极值;当a>1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+alna.二、思维提升训练13.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为( ) A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=0答案：D解析：若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为=,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.14.已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 . 5\n答案：(3,+∞)解析：当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.其所在抛物线的顶点为P(m,4m-m2).函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点为Q(m,m).(1)点P在点Q的上方或与Q点重合时,即4m-m2≥m,也就是m(m-3)≤0时,解得0≤m≤3,又因为m>0,所以0<m≤3.此时函数的图象如图所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多只有两个交点,不合题意;(2)点P在点Q的下方时,即4m-m2<m,也就是m(m-3)>0时,解得m<0或m>3,又因为m>0,所以m>3.此时函数的图象如图所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多可有三个交点,符合题意.所以m>3.15.若a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a),则当a= 时,g(a)的值最小. 答案：2-2解析：当a≤0时,在区间[0,1]上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间[0,1]上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;当0<a<1时,f(x)=在区间内递增,在区间上递减,在区间(a,1]上递增,且f=,f(1)=1-a,∵-(1-a)=(a2+4a-4),∴当0<a<2-2时,<1-a.当2-2≤a<1时,≥1-a;当1≤a<2时,f(x)=-x2+ax在区间上递增,在区间上递减,当x=时,f(x)取得最大值f=;当a≥2时,f(x)=-x2+ax在区间[0,1]上递增,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.则g(a)=在区间(-∞,2-2)上递减,在区间[2-2,+∞)上递增,即当a=2-2时,g(a)有最小值.16.已知函数f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求函数f(x)的最小值.解(1)当a=0时,函数f(x)=-2x在区间[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=-2.(2)当a>0时,函数f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向上,且对称轴为直线x=.5\n①当≤1,即a≥1时,f(x)=ax2-2x的图象对称轴在区间[0,1]内,∴f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,∴f(x)min=f=-=-.②当>1,即0<a<1时,函数f(x)=ax2-2x的图象对称轴在区间[0,1]的右侧,∴f(x)在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=a-2.(3)当a<0时,函数f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x=<0,在y轴的左侧,∴函数f(x)=ax2-2x在区间[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=a-2.综上所述,f(x)min=17.已知函数f(x)=alnx+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=alnx+x2的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x=.当x∈[1,e]时,2x2∈[2,2e2].若a≥-2,则f'(x)在区间[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2<a<-2,令f'(x)<0,解得1≤x<,此时f(x)单调递减; 令f'(x)>0,解得<x≤e,此时f(x)单调递增,∴f(x)min=f=ln-;若a≤-2e2,f'(x)在区间[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2<a<-2时,f(x)min=ln-,相应的x=;当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.(2)不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-lnx)≥x2-2x.∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立,∴lnx<x,即x-lnx>0,因而a≥,x∈[1,e],令g(x)=(x∈[1,e]),则g'(x)=,当x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),∴g(x)在区间[1,e]上是增函数,故g(x)min=g(1)=-1,∴实数a的取值范围是[-1,+∞).5
