专题能力训练2 不等式、线性规划一、能力突破训练1.已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( ) A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>sinyD.x3>y3答案：D解析：由ax<ay(0<a<1)知,x>y,故x3>y3,选D.2.已知函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,则f(2-x)>0的解集为( )A.{x|x>2或x<-2}B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4}D.{x|0<x<4}答案：C解析：∵f(x)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,∴b-2a=0,即b=2a,∴f(x)=ax2-4a.∴f'(x)=2ax.又f(x)在区间(0,+∞)单调递增,∴a>0.由f(2-x)>0,得a(x-2)2-4a>0,∵a>0,∴|x-2|>2,解得x>4或x<0.3.不等式组的解集为( )A.(0,)B.(,2)C.(,4)D.(2,4)答案：C解析：由|x-2|<2,得0<x<4;由x2-1>2,得x>或x<-,取交集得<x<4,故选C.4.(2022北京,文4)若x,y满足则x+2y的最大值为( )A.1B.3C.5D.9答案：D解析：由题意画出可行域(如图).设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9.故选D.5.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),若不等式f(x)>0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)<0的解集是( )A.∪B.C.∪D.5\n答案：A解析：由f(x)>0,得ax2+(ab-1)x-b>0.∵其解集是(-1,3),∴a<0,且解得a=-1或,∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3,∴f(-2x)=-4x2-4x+3.由-4x2-4x+3<0,得4x2+4x-3>0,解得x>或x<-,故选A.6.已知不等式组表示的平面区域的面积为2,则的最小值为( )A.B.C.2D.4答案：B解析：画出不等式组表示的区域,由区域面积为2,可得m=0.而=1+,表示可行域内任意一点与点(-1,-1)连线的斜率,所以的最小值为=.故的最小值是.7.已知x,y满足约束条件使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为( )A.-3B.3C.-1D.1答案：D解析：如图,作出可行域如图阴影部分所示,作直线l0:x+ay=0,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则将l0向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1.选D.8.已知变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于( )A.-2B.-1C.1D.2答案：C解析：画出约束条件的可行域,如图,作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2),5\n由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选C.9.若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12答案：C解析：如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),设可行域内任一点P(x,y),则x2+y2的几何意义为|OP|2.显然,当P与A重合时,取得最大值.由解得A(3,-1).所以x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.10.不等式组表示的平面区域的面积为 . 答案：解析：由题意作出不等式组表示的平面区域如下:方程x-y=0,x-2y+2=0与x=-1两两联立解得,H(-1,-1),G,I(2,2);故S△HIG=××3=.11.当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是 . 答案：解析：画出可行域如图所示,设目标函数z=ax+y,即y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a>0,数形结合知,满足即可,解得1≤a≤.故a的取值范围是1≤a≤.12.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是 . 答案：1<a≤3解析：作出平面区域D如图阴影部分所示,联系指数函数y=ax的图象,5\n当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点,则a的取值范围是1<a≤3.二、思维提升训练13.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.B.C.D.答案：B解析：画平面区域如图阴影部分所示.∵两平行直线的斜率为1,∴两平行直线与直线x+y-3=0垂直,∴两平行线间的最短距离是AB的长度.由得A(1,2).由得B(2,1).∴|AB|==,故选B.14.设对任意实数x>0,y>0,若不等式x+≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为( )A.B.C.D.答案：A解析：原不等式可化为(a-1)x-+2ay≥0,两边同除以y,得(a-1)-+2a≥0,令t=,则(a-1)t2-t+2a≥0,由不等式恒成立知,a-1>0,Δ=1-4(a-1)·2a≤0,解得a≥,amin=,故选A.15.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为8,则ab的最大值为 . 答案：2解析：画出可行域如图阴影部分所示,5\n目标函数变形为y=-x+,由已知,得-<0,且纵截距最大时,z取到最大值,故当直线l过点B(2,4)时,目标函数取到最大值,即2a+4b=8,因为a>0,b>0,由基本不等式,得2a+4b=8≥4,即ab≤2(当且仅当2a=4b=4,即a=2,b=1时取“=”),故ab的最大值为2.16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3=,则+的最小值为 . 答案：3解析：由2x-3=,得x+y=3,故+=(x+y)=≥×(5+4)=3,当且仅当即(x,y∈(0,+∞))时等号成立.17.(2022天津,文13)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 . 答案：4解析：∵a,b∈R,且ab>0,∴≥=4ab+≥4.18.已知存在实数x,y满足约束条件则R的最小值是 . 答案：2解析：根据前三个约束条件作出可行域如图中阴影部分所示.因为存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.5
