专题升级训练3 不等式、线性规划(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁UA)∩B＝( )．A．{x|x＞2或x＜0}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )．A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2C．＋＞D．＋≥23．不等式x2－4＞3|x|的解集是( )．A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )．A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b35．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )．A．B．4C．D．56．设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是( )．A．14B．16C．17D．197．已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为( )．A．4B．5C．D．8．已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)＜0恒成立，则当x＞3时，x2＋y2的取值范围是( )．A．(9,25)B．(13,49)C．(3,7)D．(9,49)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9．不等式≤3的解集为__________．10．已知函数f(x)＝|x2－2x－3|，若a＜b＜1，且f(a)＝f(b)，则μ＝2a＋b的取值范围为__________．11．设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为__________．12．若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________．三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(本小题满分10分)已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}．(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0(c∈R)．14．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的一个零点为x＝1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率．-5-\n(1)求a＋b＋c的值；(2)求的取值范围．15．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品需要电力、煤、劳动力及产值如下表所示：品种电力(千度)煤(t)劳动力(人)产值(千元)甲4357乙6639该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用电不超过180千度，用煤每天不得超过150t，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，才能创造最大的经济效益？16．(本小题满分12分)某化工厂为了进行污水处理，于2011年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元)；(2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？-5-\n参考答案一、选择题1．C2．D 解析：由ab＞0，可知a，b同号．当a＜0，b＜0时，B、C不成立；当a＝b时，由不等式的性质可知A不成立，D成立．3．A 解析：由x2－4＞3|x|，得x2－3|x|－4＞0，即(|x|－4)(|x|＋1)＞0.∴|x|－4＞0，|x|＞4.∴x＞4或x＜－4.4．A 解析：A选项中，a＞b＋1＞b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．5．C 解析：∵2y＝2＝(a＋b)＝5＋＋，又a＞0，b＞0，∴2y≥5＋2＝9，∴ymin＝，当且仅当b＝2a时取等号．6．B 解析：不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，设z＝3x＋4y，即y＝－x＋z，当该直线经过可行域时截距越小z就越小，由数形结合可知y＝－x＋z通过点(4,1)时截距最小，此时z取最小值16.7．A 解析：因为x，y为任意非零实数，则3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)等价于(λ－3)2－4×＋λ≥0，设t＝，转化为对任意非零实数t，不等式(λ－3)t2－4t＋λ≥0恒成立，因λ＝3时不符合题意，从而有解得λ≥4，故选A.8．B 解析：函数y＝f(x)的图象是由函数y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位而得到，函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)对称，则函数y＝f(x)的图象关于(0,0)对称，即函数y＝f(x)是奇函数．则f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)＜0等价于f(x2－6x＋21)＜－f(y2－8y)＝f(－y2＋8y)，又函数y＝f(x)是R上的增函数，则有对任意的x，y∈R，不等式x2－6x＋21＜－y2＋8y恒成立，即(x－3)2＋(y－4)2＜4.从而转化为求半圆面C：(x－3)2＋(y－4)2＜4，x＞3(不含圆弧)上点P(x，y)到原点的距离d的平方的取值范围．即＜d＜7.故选B.二、填空题9． 解析：由≤3得≤0，解得x＜0或x≥.10．[3－2，3－4) 解析：由函数f(x)的图象可知，a＜－1，－1＜b＜1，且a2－2a－3＝－b2＋2b＋3，即点P(a，b)满足不等式组此区域为以A(－1，－1)，B(－2-5-\n＋1,1)为端点且不含端点的圆弧，直线μ＝2a＋b与圆弧相切于点C，则直线μ＝2a＋b过点C时，μ有最小值3－2，过点B时，有最大值3－4，而圆弧不含端点B，故μ＝2a＋b的取值范围为[3－2，3－4)．11．3 解析：画出不等式组所对应的可行域(如图)．由于z＝x＋5y，所以y＝－x＋z，故当直线y＝－x＋z平移至经过可行域中的N点时，z取最大值．由解得N.所以z＝x＋5y的最大值zmax＝＋＝.依题意有＝4.解得m＝3.12． 解析：因为不等式等价于(－a＋4)x2－4x＋1＜0，易知(－a＋4)x2－4x＋1＝0中的Δ＝4a＞0，且有4－a＞0，故0＜a＜4，解得＜x＜，＜＜，则{1,2,3}为所求的整数解集．所以3＜≤4，解得a的范围为.三、解答题13．解：(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b＞1.由根与系数的关系，得解得(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.①当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为.∴当c＞2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为.14．解：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝－1.(2)∵c＝－1－a－b，∴f(x)＝x3＋ax2＋bx－1－a－b＝(x－1)[x2＋(a＋1)x＋a＋b＋1]．从而另外两个零点为方程x2+(a+1)x+a+b+1=0的两根，且一根大于1，一根小于1而大于零，设g(x)＝x2＋(a＋1)x＋a＋b＋1，由根的分布知识画图可得-5-\n即作出可行域如图所示，则＝表示可行域中的点(a，b)与原点连线的斜率k，直线OA的斜率k1＝－，直线2a＋b＋3＝0的斜率k2＝－2，∴k∈，即∈.15．解：设每天生产甲种产品xt，乙种产品yt，所创效益z千元．由题意：目标函数z＝7x＋9y，作出可行域(如图所示)，把直线l：7x＋9y＝0平行移动，当经过P点时，z＝7x＋9y有最大值．由解得即点P的坐标为，故每天生产甲种产品t，乙种产品t，才能创造最大的经济效益．16．解：(1)y＝，即y＝x＋＋1.5(x＞0)．(2)由均值不等式，得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5(万元)，当且仅当x＝，即x＝10时取到等号．故该企业10年后需要重新更换新设备．-5-
