专题25利用正（余）弦定理破解解三角形问题考纲要求:1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题.基础知识回顾:1.＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.3.在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解4.三角形常用的面积公式(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】【北京市朝阳区2022届高三上学期期中统一考试】已知中，，.（Ⅰ）若，求；15\n（Ⅱ）若的面积为，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【例2】【2022江苏泰兴中学高三月考】在△ABC中，∠A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．【答案】.15\n点评：正、余弦定理的应用原则(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状【例3】【重庆市第一中学2022届高三上学期期中考试】已知的内角所对的边分别为，满足.（1）若，求角；（2）若，试判断的形状.【答案】(1)；(2)为正三角形.【解析】试题分析：根据三角函数的余弦定理公式得到，结合题干中的公式可得15\n（2），由正弦定理有：，而，∴，即，而，∴，∴，∵，∴，又由（1）知，∵及，∴，从而，因此为正三角形.点睛：第一问结合余弦定理，得到角A的三角函数值；第二问，先由正弦定理的到，再化一得到角B，根据第一问A，得到两角相等，可以知道三角形为等边三角形。【例4】【2022河南洛阳统考】在中,角、、所对的边分别为、、,且成等差数列.（1）求角；（2）若,试判断当取最大值时的形状,并说明理由.【答案】（1）；（2）等边三角形.【解析】（1）因为成等差数列，所以由正弦定理得,又因为,所以,15\n所以,即,所以,又因为,所以,所以,而,所以.(2)由余弦定理得，所以当且仅当b=c时取等号.即当b=c=2时,bc取得最大值.此时ABC为等边三角形.类型三、利用正（余）弦定理解决与三角形面积有关的问题【例5】【河北省石家庄市普通高中2022届高三10月份月考】设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（1）若A＝30°，求a；（2）求△ABC面积的最大值．【答案】（1）（2）所以面积的最大值为.【例6】【2022浙江省金华、丽水等十二校高三联考】在中，内角，，所对的边分别为，，，．（1）证明：；（2）若，，求的面积．15\n【答案】（1）详见解析；（2）.点评：三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．方法、规律归纳:1.三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)三角形内的诱导公式：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos＝sin.(6)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．2.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．实战演练:1．【2022四川省成都市高三摸底】在中，内角的对边分别为，且，，则角的大小为（）A．B．C．D．【答案】A15\n2．【2022北京市高三入学定位考试】在中，若，，，则（）A．B．C．或-1D．或0【答案】A【解析】由，，结合余弦定理得，得，由，，。3．【2022河南省天一大联考】在中，角所对的边分别为，若，则为．A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】根据正弦定理得,那么,根据,所以,所以,整理为：,三角形中,所以,那么．4．【2022河南省郑州市高三质检】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－c)sinA，则角B的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．120°【答案】A15\n5．【江苏省徐州市2022届高三上学期期中考试】已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角关系化简得，即得角（2）由余弦定理得，配方得，解得，最后根据三角形面积公式求面积试题解析：（1）因为，由正弦定理，得．因为，所以．即，所以．因为，所以．又因为，所以．（2）由余弦定理及得，，即．又因为，所以，所以．6．【黑龙江省齐齐哈尔地区八校2022届高三期中联考】在中，角所对的边分别为；（1）若成等比数列，，求的值.（2）若，，且，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.15\n15\n7．【山东省滨州市2022届高三上学期期中考试】在中，内角的对边分别为，且，.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）直接在中运用正弦定理即可得出结论；（Ⅱ）由已知及余弦定理可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解.试题解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，解得，所以.15\n（Ⅱ）由余弦定理，得，所以，因为，所以，所以的面积为.8．【北京市海淀区2022届高三上学期期中考试】如图，在四边形中，，且为正三角形.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求和的长.【答案】(1)（2），15\n（Ⅱ）设，，在和中由余弦定理得代入得解得或（舍）即，9．的内角所对的边分别为，向量.（1）若，求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.15\n10．已知中，角的所对的边分别是，，且（为面积).（1）求的值；（2）若，求的长度.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）由条件及余弦定理的推论可得，由可得，从而，再根据可求得，最后根据求解；（2）由，根据正弦定理得，代入上式得。15\n（2）∵∴由得又由正弦定理得∴∴15\n15
