专题18恒成立问题你会多少考纲要求:1.理解不等式恒成立的基本概念，会根据不等式恒成立处理求参数范围的简单问题.2.通过自主学习与合作探究的教学过程，进一步提升学生自主学习的数学能力.3.通过本内容的教学，使学生掌握不等式恒成立与最值的关系，进一步了解数学各内容之间一种完美结合与渗透之美.基础知识回顾:恒成立：关于x的不等式f(x)≥0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。若函数在区间上存在最小值和最大值，则:①不等式在区间上恒成立；②不等式在区间上恒成立；③不等式在区间上恒成立；④不等式在区间上恒成立；若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则：①不等式（或）在区间上恒成立；②不等式（或）在区间上恒成立；应用举例类型一、函数性质法1.一次函数若内恒有,则根据函数的图像可得可合并成,同理若内恒有则有15\n【例1】对于满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围.【答案】或.2.二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设（1）上恒成立；（2）上恒成立．类型2：设（1）当时，上恒成立上恒成立15\n（2）当时，上恒成立上恒成立例2【河北省武邑中学2022届高三上学期第三次调研】已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．【答案】A3.其它函数：对于恒成立的问题，常用到以下结论：（1）；（2）；（3）恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）．例3已知函数满足,其中,且.（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性；（2）当时,的值恒为负数,求实数的取值范围15\n【答案】（1），奇函数；（2）.类型二、分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．例4【浙江省绍兴市柯桥区2022届高三教学质量调测】对任意不等式恒成立,则实数的取值范围是．【答案】【解析】设,则,,故原不等式转化为,即,所以,即.故应填答案.例5．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(－4,0]．(2).15\n类型三、主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．例6．若不等式的所有都成立，则的取值范围__________.【答案】15\n类型四、数形结合若所给不等式进行合理的变形化为（或）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．例7．求证：，对于恒有成立.【答案】证明见解析.【解析】原方程可化为，由图像可知，，函数单调递增，故得证.类型四、消元转化法例8．已知是定义在上的奇函数，且，若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围．【答案】15\n方法、规律归纳:上述例子剖析了数学高考中恒成立问题的常见题型及解法，解决这类题目要看清式子的特征，选择合适的方法，以便事半功倍.(1)对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是容易漏掉的地方.（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.(3)一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.（5）值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的形式不尽相同，但其实质却往往与求函数的最值息息相关，从而在解数学函数与不等式恒成立的过程中，欣赏一下数学中的“统一美”，在努力攀登知识的高峰中，不要忘了多看身边的美景，度过有意义的时光.实战演练:1．【江西师大附属中学2022年10月高三月考】已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】要使对于任意的，不等式恒成立，只需当时，有15\n由g=知，当<0时，g；当>0时，g,所以(1)当时，易知当，不满足时，有，故不成立；(2)当时，，此时，此时,当时，，当时，,所以,成立；点睛：把恒成立问题转化为求函数的最值问题是解决本题的关键，同时需注意对进行分类讨论。2．【山西省2022—2022届年度高三名校模拟考试第一次五校联考】已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为()A.B.3C.D.【答案】A【解析】令，易得与互为反函数与关于直线对称原命题等价于在上恒成立.记，记，同理可得，综上的最大值为，故选A.【点睛】本题的关键步骤有：15\n观察发现与互为反函数；将原命题等价转化为在上恒成立；利用导数工具求的最小值，从而求得；3．【陕西省西安市西北工业大学附属中学2022届高三下学期第七次模拟考试】已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内4．【2022—2022学年河北省石家庄二中八月高三模拟】已知对，不等式恒成立，则的最大值是()A.1B.C.D.【答案】C【解析】不等式可化为，则，所以当时，，即，所以，令，则令可得，故，即，应选答案C。点睛：解答本题的思路是将不等式可化为，然后再构造函数，并对其进行求导，求出函数的最小值为，即15\n，然后求出目标函数的最大值为，即，所以求出的最大值是。5．【河南省南阳市第一中学2022届高三上学期第二次考试】已知函数，若在定义域内恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【方法点晴】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法①求解的．6．若不等式对于一切恒成立，则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】C15\n点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.7．若的定义域为，恒成立，，则解集为()A.B.C.D.【答案】D【解析】令，恒成立，即在定义域上单调递增．又，则，即．故本题答案选．8．已知定义在上的函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是()15\nA.B.C.D.【答案】B9．【河南省洛阳市2022-2022学年高三期中考试】已知函数．（1）若函数在和处取得极值，求的值；（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）求出导函数，利用，且=0，解方程组可求得15\n；（2）利用导数研究函数的单调性，可得函数在时，的最小值为，只需即可求的取值范围.试题解析：（1）由题可得，，∵函数在和处取得极值，∴是方程的两根，∴，∴；（2）由（1）知，，当变化时，随的变化如下表：-2-123+0-0+增减增∴当时，的最小值为，要使恒成立，只要即可，∴，∴的取值范围为．10．【河北省衡水中学2022届高三上学期二调考试】已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．【答案】（1）见解析（2）215\n【解析】试题分析：（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；（2）中可通过分离参数将问题转化成在区间内恒成立求解，令，结合函数零点存在定理可求得的最值。（2）由，得，因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．15\n令，则，令，则在区间内单调递增，又，所以存在唯一的，使得，且当时，，单调递增，点睛：本题属于导数的综合应用题。第一问中要合理确定对进行分类的标准；第二问利用分离参数的方法解题，但在求函数的最值时遇到了导函数零点存在但不可求的问题，此时的解法一般要用到整体代换，即由可得，在解题时将进行代换以使问题得以求解。15
