专题24三角函数的图像和性质的“磨合”考纲要求:1．能画出y＝sinx,y＝cosx,y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．3.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响．4.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.基础知识回顾:1．“五点法”作图原理在确定正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、、(π，0)、、(2π，0).2．三角函数的图像和性质 函数性质 y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域{x|x≠kπ＋(k∈Z)}图像值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：周期2π2π π14\n单调性增区间；减区间增区间减区间增区间奇偶性奇函数偶函数奇函数_3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝ f＝＝4．函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤如下应用举例:类型一、求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例1】【河南省息县第一高级中学2022届高三下学期第一次适应性测试】将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（）14\nA.（）B.（）C.（）D.（）【答案】A【例2】函数的部分图象如图所示，若将图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由图像得，，所以14\n，横坐标缩短为原来一半，得到.类型二、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的平移变换【例3】【黑龙江省齐齐哈尔八中2022届高三第二次月考】将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（ ）A.（，0）B.（，0）C.（，0）D.（，0）【答案】D【解析】，向右平移个单位，得到，选D.【例4】【2022北京市高三入学定位考试】函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin(2x＋)的图象重合，则φ＝________．【答案】类型三、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性【例5】【2022山西太原高三调研】已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象( )A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称C．关于点对称D．关于点对称14\n【答案】B【解析】∵f(x)＝sin的最小正周期为π，∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝sin.当x＝时，2x＋＝，∴A，C错误；当x＝时，2x＋＝，∴B正确，D错误．【例6】【2022贵州省贵阳市一中高三摸底考试】函数f(x)＝sin(2x＋φ)（）的图像向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为( )A．－ B.－C.D.【答案】A类型四、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用【例7】【2022河北省冀州中学高三摸底考试】当时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f( )A．是奇函数且图象关于点对称B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C．是奇函数且图象关于直线x＝对称D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称解析：∵当x＝时，函数f(x)取得最小值，∴sin＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．∴f(x)＝sin＝sin.∴y＝f＝sin(－x)＝－sinx.∴y＝f是奇函数，且图象关于直线对称．14\n【例8】【2022浙江省宁波市高三入学考试】如图是函数y＝sin(ωx＋φ)在区间上的图像，将该图像向右平移m(m＞0)个单位后，所得图像关于直线x＝对称，则m的最小值为( )A.B.C.D.【答案】B类型五、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的值域与最值问题【例9】【吉林省实验中学2022届高三下学期第八次模拟考试】已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因，故，因，故，则，所以，应选答案B。【例10】【2022河北省邢台一模】先把函数f(x)＝sin的图象上各点的横坐标变为原来的14\n(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象．当x∈时，函数g(x)的值域为( )A.B.C.D．[－1,0)【答案】A【解析】依题意得g(x)＝sin＝sin，当x∈时，2x－∈，sin∈，此时g(x)的值域是.类型六、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调性问题【例11】【福建省闽侯第一中学2022届高三上学期开学考试】函数，的图象与的图象的对称轴相同，则的一个增区间为（）A.B.C.D.【答案】B【例12】【2022山东莱芜高三阶段测试】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．【答案】φ＝.；，k∈Z.【解析】∵f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)．(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．∴sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，将上式展开整理得sin2xcosφ＝0，由已知上式对∀x∈R都成立，∴cosφ＝0，∵0<φ<，∴φ＝.(2)f(x)的图象过点时，sin＝，即sin＝.14\n又∵0<φ<，∴<＋φ<π.∴＋φ＝，φ＝.∴f(x)＝sin.方法、规律归纳:1、两种图像变换的区别由y＝sinx的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．2、确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.实战演练:1．【广西桂林市第十八中学2022届高三上学期第三次月考】已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（）A.B.C.D.14\n【答案】D【解析】【点睛】本题主要考查了复合函数单调区间，正弦函数的性质-：单调性和最值．注意对三角函数基础知识的理解和灵活运用．2．【福建省三明市第一中学2022届高三上学期第一次月考】已知函数为偶函数，其图像与直线相邻的两个交点的横坐标分别为且则()A.B.C.D.【答案】A【解析】由为偶函数得出，落在轴上，,由图象与直线相邻的两个交点的横坐标分别为且得，周期为，所以，故选A.14\n3．【2022届广西南宁市金伦中学高三上学期期末考试】已知函数的一个零点是，是的图像的一条对称轴，则取最小值时，的单调增区间是（）A.B.C.D.【答案】B4．【2022届福建省泉州市高三3月质量检测】已知函数，且对于任意的，.则（）A.B.14\nC.D.【答案】C5．【吉林省实验中学2022届高三下学期第八次模拟考试】已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解析：因，故14\n，因，故，则，所以，应选答案B。6．【北京市朝阳区2022届高三二模数学】已知函数的最小正周期为，则A.函数的图象关于原点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称D.函数在区间上单调递增【答案】C7．【河北省2022届衡水中学押题卷】已知函数（）的最小正周期为，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题可知：由最小正周期为2可得又代入可得：，，，则8．【广东省湛江市2022届高三下学期第二次模拟考试】已知函数（，14\n）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且在时取得最大值2，若，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D9．【福建省泉州市2022届高三（5月）第二次质量检查】函数的最小正周期为为图像的对称轴，则在区间上的最大值与最小值的和为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得，，因此，当时，，即最大值与最小值的和为，选D.10．已知函数=()(A>0，>0，0<<)，的图象如图所示，则f（202214\n）的值为()A.B.C.D.【答案】A14
