专题23三角函数公式的正用、逆用与变用考纲要求:1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.3.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).基础知识回顾:1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：,(2)商数关系：.2．三角函数的诱导公式公式一：，，，其中k∈Z.公式二：sin(π＋)＝，cos(π＋)＝，tan(π＋)＝tan.公式三：sin(－)＝，cos(－)＝，tan(－)＝－tan.公式四：sin(π－)＝sin，cos(π－)＝，tan(π－)＝－tan.注、（1）三角函数诱导公式的本质是“奇变偶不变，符号看象限”（2）诱导公式的应用之一是求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2kπ＋α(0≤α<2π)；②转化为锐角．3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(±β)＝sincosβ±cossinβ；cos(∓β)＝coscosβ±sinsinβ；tan(±β)＝.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2＝2sincos；cos2＝cos2－sin2＝2cos2－1＝1－2sin2；tan2＝.1＋sin2＝(sin＋cos)2,1－sin2＝(sin－cos)2，sin±cos＝sin.5．辅助角公式12\nasinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.6.角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式的关系应用举例:类型一、同角三角函数基本关系式的“三用”【例1】【2022浙江省温州市高三月考试题】若，则（）A．B．C．或1D．或-1【答案】A【例2】若，则的值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由，则，可得，则，故选C.类型二、三角函数公式的基本应用【例3】【全国名校大联考2022-2022年度高三第二次联考】已知且，则（）12\nA.B.C.或D.或7【答案】C【解析】，由，得，.由,得或.故选C.【例4】【湖北省襄阳市四校2022届高三上学期期中联考】下列各式中，值为的是（）A.B.C.D.【答案】B【例5】【2022河南省天一大联考】已知为锐角，若，则（）A．3B．2C．D．【答案】A【解析】，解得.12\n类型三、三角函数公式的逆用与变用【例6】【吉林省百校联盟2022届高三TOP20九月联考】已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【例7】【2022广西南宁高三模拟】在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1,则cosC的值为( )A．－B.C.D．－解析：选B 由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝.【例8】【2022山东莱芜高三阶段测试】若α是第二象限角，sin(π－α)＝.则＝________.12\n解析：由sin(π－α)＝得sinα＝，又α是第二象限角，∴cosα＝－，tanα＝－.类型四、三角函数公式在解三角形中的应用【例9】【豫西南部分示范性高中2022-2022年高三年级第一学期联】在中，分别为角的对边，且，的面积.（1）求；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理原式子可以化为，消去公因式得到结果；（2）由第一问得到，再由面积公式得到，，根据余弦定理得到三边关系，进而求得结果。12\n（1）由正弦定理可知，∵，∴.（2）由（1）可知，∵，∴.∵，∴，∴.又，，∴，，∵，∴.【例10】【2022浙江省温州市高三月考试题】在中，内角所对的边分别为．若． （1）证明：；（2）若，求的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．方法、规律归纳:1.三种方法——三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝＝….2.两个技巧——拼角、凑角的技巧(1)用已知角表示未知角12\n2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；α＝＋，β＝－；＝等．(2)互余与互补关系；；；…3.三个变换——应用公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．实战演练:1．【安徽省马鞍山含山2022-2022学年度高三联考】已知，则（）A.B.C.D.【答案】B12\n2．【山东省德州市2022届高三上学期期中考试】已知是第四象限角，且，则（）A.B.C.D.【答案】D3．【福建省三明市第一中学2022届高三上学期期中考试】若，则为()A.B.C.D.【答案】C【解析】∵，，∴.又∵，，∴，12\n∴又∵，∴故选C.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”，“给值求角”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的等量关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.在求解过程中注意结合角的范围来确定正余弦的正负！4．【安徽省六安市第一中学2022届高三上学期第三次月考】已知，则（）A.B.C.D.【答案】C5．【安徽省六安市第一中学2022届高三上学期第三次月考】若，则（）A.B.C.1D.【答案】A【解析】∵12\n∴，，故选：A6．【安徽省六安市第一中学2022届高三上学期第三次月考】在中，，则的值是（）A.B.C.D.【答案】C7．【安徽省六安市第一中学2022届高三上学期第三次月考】已知，则的值是（）A.B.C.D.【答案】B12\n8．【河南省南阳市2022年秋期高中三年级期中】已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，故选C.9．已知锐角满足，则A.B.C.D.【答案】B【解析】因为12\n所以，，，又因为，则，则,.选B.10．【四川省成都市第七中学2022届高三上学期半期考试】设三个内角的对边分别为，的面积满足.（1）求角的值；（2）求的取值范围.【答案】(1)；(2).12
