专题13“宝刀未老”的函数应用性问题考纲要求:1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.基础知识回顾:1．常见的函数模型及性质(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(2)三种函数模型的性质函数性质 y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax【注】三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax-20-\n的增长快于xn的增长，因而总存在一个x0，当x>x0时有ax>xn(2)对数函数y＝logax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)对数函数y＝logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有logax<xn由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有ax>xn>logax2．解函数应用问题的四步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：应用举例:类型一、构建二次函数模型【例1】【2022山东省枣庄八中高三月考】经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)＝－t＋(1≤t≤100，t∈N)．前40天价格为f(t)＝t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后60天价格为f(t)＝－t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值．【答案】最大值为，最小值为8.-20-\n当41≤t≤100，t∈N时，S(t)＝g(t)f(t)＝＝t2－36t＋＝(t－108)2－，所以8＝S(100)≤S(t)≤S(41)＝.所以，S(t)的最大值为，最小值为8.点评：二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．类型二、构建分段函数模型【例2】【2022届山西孝义市高三上学期二轮模拟】为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。（1）求函数的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？【答案】（1），定义域为；（2）11元．-20-\n故，定义域为．（2）对于，显然当时，（元）．对于，当时，（元）∵，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【思路点睛】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．类型三、构建“对勾”函数f(x)＝x＋(a＞0)模型【例3】【2022江西省新余市第一中学高三开学考试】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．-20-\n【答案】k＝40；f(x)=6x＋(0≤x≤10)．厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．点评：应用函数y＝x＋模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋的形式．(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．类型四、构建高次函数或复杂的分式结构函数模型【例4】设某物体一天中的温度是时间的函数，已知，其中温度的单位是，时间的单位是小时，规定中午12：00相应的，中午12：00以后相应的取正数，中午12：00以前相应的取负数（例如早上8：00相应的，下午16：00相应的），若测得该物体在中午12：00的温度为，在下午13：00的温度为，且已知该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率.（1）求该物体的温度关于时间的函数关系式；（2）该物体在上午10：00至下午14：00这段时间中（包括端点）何时温度最高？最高温度是多少？【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）在上午11:00与下午14:00该物体温度最高，最高温度是62.℃.-20-\n（Ⅱ）令可得或；令可得∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增∵∴或时，取得最大值62.说明在上午11:00与下午14:00该物体温度最高，最高温度是62.℃.方法、规律归纳:一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．实战演练:-20-\n1．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为（25－x）万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？（利润＝累计收入＋销售收入－总支出）【答案】（1）第3年（2）第5年（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出，∴二手车出售后,小张的年平均利润为，当且仅当时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大。2．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）-20-\n【答案】（1）；（2）当车流密度为辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约辆/小时.试题解析：（1）由题意：当时，-当时，设，再由已知得解得故函数的表达式为-20-\n3．【江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2022届高三年级第三次模拟】某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且．设，透光区域的面积为．（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．【答案】（1）（2）【解析】试题分析:根据题意表示出所需的线段长度，再分别求三角形和扇形面积，从而表示出总面积，再根据题意要求求出函数的定义域；根据题意表示出“透光比”函数，借助求导，研究函数单调性求出最大值.试题解析:（1）过点作于点，则，所以，-20-\n．所以，因为，所以，所以定义域为．【点睛】应用问题在高考试题中很常见，也是学生学习的弱点，建立函数模型是关键，本题根据题目所给的条件列出面积关于自变量的函数关系，注意函数的定义域；求函数最值问题方法很多，求导是一种通法.-20-\n4．【2022届江苏南京市盐城高三一模】如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足.（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3）【答案】（Ⅰ）能（Ⅱ）米且米最后根据活动中心的截面面积关系式求最值：-20-\n试题解析：解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．ABEDHGC←南·xy（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．-20-\n方法一：设太阳光线所在直线方程为，即，由，解得或（舍）.故太阳光线所在直线方程为，令，得，由，得.所以.当且仅当时取等号.所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大..............16分-20-\n【方法点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．5．【2022届辽宁抚顺重点高中协作校高三上一模】食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种植经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与投入（单位：万元）满足，.设甲大棚的投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收益为（单位：万元）.（1）求的值；-20-\n（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大？【答案】（1）；（2）甲大棚投入万元，乙大棚投入万元时,总收益最大，最大收益为万元.6．已知一家公司生产某种产品的年固定成本为6万元，每生产1千件需另投入2.9万元，设该公司一年内生产该产品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）求该公司生产这一产品的最大年利润及相应的年产量.（年利润=年销售收入-年总成本）-20-\n【答案】（1）；（2）.7．某工厂2万元设计了某款式的服装，根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（单位：万元）.（1）若生产6百套此款服装，求该厂获得的利润；（2）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（3）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润.（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）【答案】（1）；（2）；（3）.-20-\n8．统计表明:某型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于速度x(千米/时)的函数解析式可表示为y=x2800-320x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/时的速度行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?【答案】（1）10升（2）5升-20-\n9．某食品厂定期收购面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.【答案】（1）该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少；（2）该厂应接受此优惠条件，理由详见试题解析.【解析】试题分析：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意表示出面粉的保管等其他费用为3[6x＋6（x－1）＋…＋6×2＋6×1]＝9x（x＋1）．由基本不等式求出总费用最少时x的值即可．（2）若厂家利用此优惠条件后,则至少每隔35天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则y2＝[9x（x＋1）＋900]＋6×1800×0.9＝＋9x＋9729（x≥35）；由函数单调性知：当x≥35时为增函数．-20-\n∴该厂应接受此优惠条件．试题解析：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6（x－1）＋…＋6×2＋6×1]＝9x（x＋1）．设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1＝[9x（x＋1）＋900]＋6×1800＝＋9x＋10809≥2＋10809＝10989，当且仅当9x＝，x＝10时取等号，即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．考点：1、基本不等式；2、函数的单调性；3、最值问题．【易错点晴】本题考查的是基本不等式的应用及成立的条件、函数的单调性的定义等，属于中档题，也是易错题；很多同学看到应用题就感觉无从下手，有的干脆直接放弃，导致应用题得分利率不高；碰到应用题时，一定要耐心读完题目，根据题意列出方程或者不等式，利用基本不等式成立的条件即可求出何时取到最值；第二问中函数单调性的证明是关键，通过单调性即可说明应该接受优惠条件．-20-\n10．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【答案】（1）88（2）月租金定为4050元时，月收益最大，其值为307050元-20-
