第十章第八节离散型随机变量及其分布列与超几何分布（理）题组一离散型随机变量分布列的性质1.以下分布列中，是离散型随机变量分布列的是( )A.X012P0.30.40.5B.Xx1x2x3P0.3－0.10.8C.X123PD.Xx1x2x3P解析：由离散型随机变量分布列的概念及性质可知C正确．答案：C2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X－101P0.51－2qq2那么q等于( )A．1B．1±C．1－D．1＋解析：由分布列的性质得：⇒∴q＝1－.答案：C6/6\n3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，那么P(2＜X≤4)等于( )A.B.C.D.解析：P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.答案：A4．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中局部数据丧失(以“x，y”代替)，其表如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20那么丧失的两个数据依次为______________．解析：由于0.20＋0.10＋0.x5＋0.10＋0.1y＋0.20＝1，得0.x5＋0.1y＝0.40，于是两个数据分别为2,5.答案：2,5题组二求离散型随机变量的分布列5.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列．解：随机变量X的取值为3,4,5,6.P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝；P(X＝5)＝＝；P(X＝6)＝＝.故随机变量X的分布列为：X3456P6．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为，遇到红灯(制止通行)的概率为6/6\n.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停顿前进，X表示停车时已经通过的路口数，求：(1)X的分布列；(2)停车时最多已通过3个路口的概率．解：(1)X的所有可能值为0,1,2,3,4.用Ak表示事件“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”，那么P(Ak)＝(k＝1,2,3,4)，且A1，A2，A3，A4独立．故P(X＝0)＝P(1)＝；P(X＝1)＝P(A1·2)＝×＝；P(X＝2)＝P(A1·A2·3)＝()2＝；P(X＝3)＝P(A1·A2·A3·4)＝()3＝；P(X＝4)＝P(A1·A2·A3·A4)＝()4＝.从而X有分布列：X01234P(2)P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－＝.即停车时最多已通过3个路口的概率为.题组三超几何分布问题7.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，那么P(X＝4)的值为( )A.B.C.D.解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.答案：C6/6\n8．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，以下概率中等于的是( )A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)解析：15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，CC表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P(X＝4)＝.答案：C9．(2022·天津高考改编)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123P(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，而P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.6/6\n题组四离散型随机变量及其分布列的综合应用10.抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，那么P(X≤4)＝________.解析：相应的根本领件空间有36个根本领件，其中X＝2对应(1,1)；X＝3对应(1,2)，(2,1)；X＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.答案：11．一个袋中装有假设干大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.(1)假设袋中共有10个球；①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X分布列．(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于，并指出袋中哪种颜色的球个数最少．解：(1)①记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，那么P(A)＝1－＝，得到x＝5.故白球有5个．②随机变量X的取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.故X的分布列为：6/6\nX0123P(2)证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y＝n，所以2y＜n,2y≤n－1，故≤.记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，那么P(B)＝·＋·＋·＝＋×≤＋×＝.所以白球的个数比黑球多，白球个数多于n，红球的个数少于.故袋中红球个数最少．6/6
